Exemples. — i'' Soit à déterminer la vraie valeur de

pour m = oo.

Cette expression est, par définition, égale à

m Lo

,-2/n/vTli o'^ o 2 m 3 /«*

k étant un entier qui dépend de la branche de logarithme que l'on aura choisie.

Le dernier facteur tend évidemment vers e^ = i . Si donc on choisit la branche pour laquelle A" = o, d'où e-"^^'^^ = i, on aura une vraie valeur, égale à e^.

Pour les autres branches du logarithme, la vraie valeur

sera entièrement indéterminée, tant que m ne sera assujetti

qu'à la seule condition de tendre vers oo. En effet, soit |i, une

, 2 AÎTTi -t-LogîJ. quantité quelconque ; si 1 on pose m = -. — r-^ — ? n étant

un entier qui tend vers 00, m tendra également vers go, et ^2mkTu ge^^a égal à e^^'^f^ = i^.

2" Cherchons la vraie valeur de

m(VH — i) pour m =; GO.

Cette expression est, par définition, égale à

le'" —i — mi -^ ^ \ m

los:^^

Sa vraie valeur est log^.

3^ Cherchons enfin la vraie valeur de z~ pour 5 = 0. On a

clos-

La vraie valeur sera donc e", en désignant par v la vraie valeur de ^log^.

Or, soient p le module et '^ l'argument de ^, on aura

^log^ = ^(Logp-}-icp).

Le premier terme z Logo a pour module p Logp. Lorsque 0 tend vers zéro, Logp tend vers — go, mais moins rapidement ; donc p Logp tend vers zéro.

Le second terme ^icp a pour module pcp, qui peut prendre une suite de valeurs quelconques lorsque p tend vers zéro, à condition de choisir convenablement les valeurs correspondantes de cp. La vraie valeur est donc indéterminée, tant qu'on ne précisera rien sur la manière dont cp varie.

Mais si cet argument est astreint à rester compris entre deux nombres fixes (en particulier, si z reste réel), p'^ tendra vej's zéro. Donc on aura

(' 1= lim^ log:3 —- o, Vim z- ^^ e^ ^=: I .

283. La vraie valeur d'une fonction de plusieurs variables est généralement indéterminée.

Considérons, par exemple, la fonction {— — ~-7- Supposons

que o et 'l s'annulent pour j? = c/, rz=:b^ mais que leurs dérivées partielles ne s'annulent pas. La vraie valeur serait la limite du rnpport

o{a -h h, 0 + A) aa où

ou

âa db

On voit qu'elle dépend du rapport variable -, à moins que l'on n'ait

da ()h

ôa db i

in. — Séries et produits infinis à ter.nes numériques.

28i. Soit ?^i, U'2y ' • -, Uni ■ • • ^^ïi6 suite indéfinie de quanlités. Ainsi que nous l'avons déjà indiqué, si les sommes successives

tendent vers une limite finie s, on dit que la série infinie

S = «1 + «2 + • ■• • -H ff/i -f- . . . == 2 ll,l

est convergente et a pour somme s.

Dans le cas contraire, la série est divergente.

^ 285. La divergence peut se manifester de plusieurs manières :

I i*^ Les sommes il, ..., Sn-, ... peuvent tendre vers co. Ce mode de divergence est le seul qui puisse se présenter si les quantités ?/i, ..., 11,1-, ... sont réelles et positives, car alors les quantités 5i , ..., .9,^, ... sont positives et forment une suite croissante (10).

2'' Les sommes 5,, ..., s,i ne tendent vers aucune limite finie ou infinie.

Ce cas se présenterait, par exemple, pour la série

286. Lorsqu'on peut trouver l'expression générale des sommes i/^, on devra la discuter pour s'assurer si pour /i = 00 elle tend vers une limite finie et déterminer celle-ci.

Considérons, par exemple, la progression géométrique

a -\- ar -y . . .-\- ar^ + . .

On a

Si I /' I < I , I r I'' et, par suite, ;•" tendra vers zéro. La série

est donc convergente et a pour somme -.

Si I /' I ^ 1 , 5 est, au contraire, divergente ; car, pour qu'elle

convergeât, il faudrait qu'on eût

o =: lim (5/^+1 — s.i ) = lim «/•", ce qui n'a pas lieu ; car on a