Considérons, comme second exemple, la série
^{z -f- 71 ~ i) {z -{- n) . . .{z -^ n -i~ k) Le terme général peut se mettre sous la forme
k-\-i. L(^-h/i — i). . .(^-^/^^-^ — j) {z^n). . .{z-^n^k) \ Sommant de \ à m toutes ces expressions, il viendra
{z -t- m). . .(^-hm+ k)
les autres termes se détruisant deux à deux. Passant à la limite, il viendra
s TZZ
hk
288. Dans le cas beaucoup plus fréquent où l'on n'est pas en mesure de déterminer les sommes s,i, on sait (9) que la condition nécessaire et suffisante pour la convergence est que l'on ait, pour toute valeur de /?,
Za ne croissant pas quand n croit, et tendant vers zéro pour /l z= yo.
On aura d'ailleurs, en passant à la limite, pour p = œ,
\Sn — ^\ < -n-
La condition de convergence sera évidemment satisfaite si
Ton a
I f/,,+il+. . .H- I Un+p\ < Nacelle dernière relation, suffisante, mais non nécessaire pour que S converge, exprime que la série à termes réels et positifs
formée par les modules des termes de S, est elle-même convergente. Si cette circonstance se présente, on dira que la
série S est absolument convergente. On dira, au contraire, que cette série S est semi-convergente si elle est convergente, sans que T le soit.
Les propositions suivantes mettront en évidence la différence profonde qui existe entre ces deux classes de séries.
289. Théoiœme. — On n^ altère pas la valeur cV une série absolument convergente en changeant V ordre de ses termes.
Soit 5 = Wi -f ?^2 H- • • • -H Un + . . . la série donnée. Changeons l'ordre de ses termes; soient v^ Vo, ••• les rangs respectivement occupés dans la nouvelle série s^ par les termes
M,, u-2^ Soit 5^^ la somme des m premiers termes de s'.
Il faut montrer qu'on peut assigner un nombre [i. tel que si m >> [Ji, I s\^^ — .9 1 deviendra moindre que toute quantité 0 fixée d'avance.
Soit n un entier à déterminer ultérieurement; désignons par UL le plus grand des entiers v, , ..., v^. Si m >> [jl, la somme s\^^ se composera : î° des termes «<, . .., Un\ 2" d'un certain nombre d'autres termes Ur^^u<^, . . . d'indice >> n ; soit n-\- p le plus grand de ces indices.
De l'égalité
'hn — -^ = S a — -S H- S]„ — S„ -=. S,, — .-» + «a -î- ^/^ + • . . ,
on déduit
l'C— -^1 < U«— '^l + l^al -1- h'p|-H.. .
< I 'Ç« — -^ I + [ I '^«+1 I 4- 1 U,i-.i I -+-...+ I lin+p I ] < 2 £,,,
expression qui tend vers zéro quand n tend vers <X). Donc, en choisissant n assez grand, on peut la rendre << 0.
290. Remarque. — On peut, d'une infinité de manières, répartir les termes de s en une infinité de classes contenant chacune une infinité de termes. (Nous pouvons, par exemple, mettre dans une première classe les termes dont l'indice est un
nombre premier; dans une seconde, ceux où il est le produit de deux facteurs premiers, et ainsi de suite.)
Soient Çiij Vi2i • • • l^s termes de la classe i, écrits dans un ordre déterminé: les séries
seront absolument convergentes, et l'on aura
Soient, en effet, ti,u la somme des m premiers termes de ti ; Sa celle des n premiers termes de s. Il faut montrer d'abord ([lie, si m tend vers ce, la somme
tend vers zéro, quel que soit p.
L'entier n étant choisi à volonté, prenons ju assez grand pour que tous ceux des termes ?/, , U2^ ■-, Un qui figurent dans.// figurent dans ^/^,/i. Les termes Vi^m+si •''■> ^'i,n/+p seront donc de la forme Ua^ u^, . . ., où les indices a, [ii, ... sont >> n. Soit 71 -i- q le plus grand d'entre eux, on aura
•| r/,,„+i I 4- . . . + I (',■,,«+/; i = 1 «a I -H I if^ I H- . . .
quantité qui tend vers zéro, pour n infini. Considérons, en second lieu, la somme
OÙ /, m seront pris assez grands pour que sim contienne tous les termes de Sn\ on aura
Sim — Sn— f^X^ 11^-^- • -y
a, ^j, . . . étant > n\ et, par suite,
1 Si„i s^ j ^ e^j.
Faisons tendre ni vers ce; nous aurons à la limite
puis, en faisant tendre /vers ce,
I ^1+^2 -H ••• — •?/. I < £«• Faisant tendre enfin n vers 00, il viendra
^91. Théorème. — La somme dhine série semi-convergente, à termes réels, dépend de V ordre de ces termes; en disposant ceux-ci convenablement, on peut lui donner la valeur que Von veut.
Soit 5 =: ?^, + . . . + u,i -h . . . la série donnée. Puisque elle est convergente, on aura
I ^ti ^n-\-p I "^ ^/i
et, en particulier, comme Un^^K = -^/z+i — s^
Soient d'ailleurs k,i et — B/^ la somme des termes positifs et celle des termes négatifs qui sont contenus dans .ç,, ;
on aura
]im5„= lim(A,, — B„) = ^.
Mais, d'autre part, la série des modules
est divergente par hypothèse. Donc les sommes
ne tendent pas vers une limite finie, et comme elles sont positives, et vont en croissant, elles tendent vers co. Les deux conditions que nous venons de trouver
lim I A„— B„| — .s-, Km | A„4- B„] = 00
donnent évidemment
limA„==oo, limB/j = oo.
Soient donc c^ , Co, ... les termes positifs, et — d^^ — c/o, ...
278 PREMIÈRE PARTIE. — CIIAPITHE Itl.
les termes négatifs de la série s. Les deux sommes Cl 4- C2 -I- . . . et <ii H- rt^2 + • • • ?
considérées séparément, seront infinies.
D'ailleurs, le rang d'un terme quelconque dans l'une de ces séries étant au plus égal à celui qu'il occupe dans la série w, -f- . . . + Un -h • . . qui résulte de leur réunion, on aura
Cela posé, il est aisé de voir qu'en rangeant convenablement les termes de la série, on pourra lui donner pour somme un nombre M choisi à volonté.
Prenons, en effet, dans la suite positive
Co
nombre de termes strictement nécessaire pour que leur somme surpasse M (ce qui est toujours possible, puisque la somme C\-\- ...-{- c,i-{- .. . est infinie), puis dans la suite négative — (i, , — do, ... le nombre de termes nécessaires pour ramener la somme au-dessous de M, puis dans la suite positive assez de termes pour lui faire dépasser de nouveau M, etc.
Soient s' la nouvelle série ainsi formée, s'^ la somme de ses m premiers termes. Les quantités 5',,^ — M oscilleront autour de zéro et convergeront d'ailleurs vers cette limite.
En effet, la différence s'„^ — M est au plus égale en valeur absolue au terme dont l'adjonction a produit le dernier changement de signe dans la suite
Chacun de ces changements de signe exige alternativement l'emploi d'un terme au moins de l'une des suites c^^ C2, ...
ou — di, — do, Dès que m sera devenu assez grand pour
que le nombre des changements de signe qui se sont produits avant le terme s'„^ — M soit '^ in, le terme qui a produit le dernier d'entre eux occupera un rang supérieur à n dans celle des suites Ci , C27 • • . ; — d\, — 6/0, ... à laquelle il appar-
tient, on aura donc
Î292. Supposons que les termes de la série 5, au lieu d'être réels, comme on l'a admis, soient des quantités complexes
La série Sw// tendant vers une limite finie c -\- di, '^cin et S6/i tendront respectivement vers c et d. D'autre part, la série S | Un\ = Sy/a^4- b^ est divergente, par hypothèse, et, ses termes étant positifs, elle a une somme infinie II en sera de même a fortiori Aq la somme 'Z{\ a ,i\ -\- \h n\) dont les termes sont au moins égaux aux siens. Donc, l'une au moins des deux séries S|a;i|, S|è/,| a une somme infinie. Donc, l'une au moins des deux séries Sa« et Y^bn est semi-convergente. On pourra donc, en modifiant l'ordre des termes de la série 5, donner une valeur arbitraire à sa partie réelle, ou à sa partie imaginaire.
293. Théorème. — Si deux séries s = 11 11,1 et tz=YiVn sont absolument convergentes, la série 1 = S^/^^p formée par les produits deux à deux de leurs termes, écrits dans un ordre quelconque, sera absolument convergente et aura pour somme st.
Soit, en effet, (j^i la somme des m premiers termes de la série o-, le nombre m étant quelconque, mais suffisant pour qu'on retrouve dans <7m tous les termes du produit
n étant un nombre donné quelconque. On aura
R étant une somme de termes Uy^ç^, dans chacun desquels l'un au moins des deux indices a, ^ sera >> n. , Soit Ji=: Wa^p+ «a'<^p'+ . . . ct soit /i -f- /; le pIus grand des indices a, p, cl', P', .... On aura
t — St\^\s„tn — St\ -h\R\
<\Sntn—St\-h I Wal k3| -f- |"a'|| ^'.S'I -t- • • •
= I S,Jn ~-St\-\-{\ U^^, 1 4- ... -u I U,,^p\) ([ (;j I 4- . . . 4- I ç>,^^^ |)
(|"ll -^ " - -^\ Un\) {\Vn-^,\ -\- . . .-\-\ ç
28o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 111.
Or les séries S = 2| w„|, T = S | p,,| élant convergentes, par hypothèse, on aura
et, d'autre part,
Donc
I '^m — -^^ I < I -hi tn— St I + Z„ T + e; S,
quantité dont chaque terme converge vers zéro si n tend vers oo. Mais on peut prendre n aussi grand qu'on veut, à condition de faire croître en même temps m. On aura donc bien, pour ni = ce,
Jim I a„i — st I = 0.
294. Ce théorème ne subsiste évidemment pas si les séries 5 et ^ ne sont pas absolument convergentes. Mais si l'une d'elles seulement, t^ est semi-convergente, on peut le remplacer par le suivant :
La série W qui a pour terme général
est convergente et a pour produit st.
En effet; on a par hypothèse
I i^n+i -^' • •-+- ^'n-^p I < Kr
Cela posé, la somme est évidemment égale à
On en déduit
\Wa—St\ = \Snt„—St\^\ U,\ 1 i'n\ -^\fh\\ <'«-!+<•«! -H . . . + I w„ I I (^2 + ^'3 H- • • • + ^V I
< I S,Jn —St\-\-\u,\ £;! + I ^^3 1 £«-2 -H . • . + 1 W« hi .
Soit m le plus grand entier contenu dans — • Les quantités £,, ..., t\^ formant une suite non croissante, on aura, a fortiori,
I W„ — ^M < I '^/^ ^n — 5/ I + ( h/.2 I + • . • 4- I ihn I ) -'n-ni^i
Si 71 tend vers cxd, il en sera de même de m et n — m -^ i . Donc tous les termes du second membre tendront vers zéro, et l'on aura
lim I W„— .9/ 1 = o.
i295. Si les séries s et t sont toutes deux semi-convergentes, la série AV pourra ne plus être convergente; mais si elle l'est, on aura encore
\Yzzz si.
Pour le faire voir, nous nous appuierons sur le lemme suivant :
Si les quantités .s, , . . . , 6/^ convergent ve/s une limite s^ on auj'a
lim — s.
On a, en effet,
a ou
Si -f- .V,
D'ailleurs, ,s,, ^2, ... tendant vers une limite s, on a
et à la limite, en faisant tendre p vers oc,
Donc
Les quantités £ formant une suite non croissante, on aura, a fortiori, en désignant par \ l'entier positif le plus voisin de y//i ,
< n et, en faisant tendre n vers oc,
Les quantités 6,, ..., Sn étant toujours supposées converger vers 5, leurs modules |ô',|, . , . , | ^/^ | convergent évidemment vers |5|. Donc on aura également
lim
H-I-Vl
Si donc les séries 5, ^, W sont convergentes, on aura, en désignant respectivement par Sn-, tn^ ^ a les sommes de leurs n premiers termes.
5 = li
lim î
W=:li
