Cela posé, on a

== Wj ((^1 -I- . . . H- Vn, ) 4- ?/2 ( (^1 + • • • + ^«-1 ) + • • . r:r: u^ tj^ -j- U^ t/i—l + • • • i

W, -4- . . . 4- W„ = Wi t„-i- ( f^i -f- Wa) ^n-i + . . .

I Posons d'où

On aura, en désignant encore par m le plus grand nombre entier contenu dans - ->

•^1 ^rt + • • • ^~ '^m *n—m+\

=: ( ^1 -f- . . . -f- ^,i/,; ) .S" -I- /^«-Hi ^i-m + . . . + ll,i ti ,

et, par suite,

Il m II n -— m ii

{Syk„^. . .-\-S,nkn-m^\)-^ (A;„+l ^,,,„ + . . .-\-h,Jy)

Passons à la limite pour /iz=co. Si l'on remarque que /n

et n — m deviennent intinis avec /i et que — ? ont

pour limite commune ;^, on voit que la limite du premier

membre sera

Donc on aura

lim[(£i^

Or ce second membre tend vers zéro. En effet, son module est au plus égal à

Or, si n tend vers o), —^ — '-- — ^-^ tendra vers 1.9 1,

ni ' '

\ L vers \t\, — et vers i, £,,-w+i ^^

£w+i vers zéro.

297. Cherchons à obtenir des règles qui nous permettent de distinguer si une série est ou non convergente.

Considérons à cet effet une série dont le terme général soit un produit de deux facteurs, telle que la suivante :

Cette série sera convergente si là quantité

tend vers zéro pour n = ce, quel que soit p. Elle sera même absolument convergente si

i a„4-i I I Un+i I 4- . . . + I OC„+p 1 I Un+p I

tend également vers zéro.

Cette dernière condition sera certainement satisfaite si : i" la série Huu est absolument convergente; a" les modules des facteurs a^^ ne surpassent pas un nombre fixe A.

On aura en effet, dans ce cas,

|a„+ll \lln+i I +...-+- \^n^p\ I lhi+p\ <A(| n,^^y I -f-...-n I lln-i-p |. )

quantité qui tend vers zéro pour n = ce.

Donc, en multipliant les termes d'une série absolument convergente par des facteurs dont les modules ne surpassent pas un nombre fixe, on obtient une nouvelle série de même nature.

Si, de plus, les modules des facteurs y.n "e deviennent jamais inférieurs à un autre nombre fixe «, leurs inverses ne

pourront surpasser --, et l'on pourra réciproquement conclure de la convergence absolue de la série ^y.nUn celle de

la série ^Un- Les deux séries seront donc en même temps absolument convergentes ou non.

298. Deux autres cas de convergence certaine peuvent être mis en évidence, en mettant l'expression (2) sous la forme suivante :

+ {y-n+p-X — «/^+/;) ("«+/>-! -4" • • • 4" "«+l) + • • • H" ( ««-+1 — ^a-^i ) ^hi+l 1 -— I ^n+p \ ^n-i-]' ^n )

+ {^n f-p-1 — '^n-hp) i^/i-hp-l — 'Ç/i ) 4- • • . H- (^rt-Hl — '^11+2) {^n+l ^^/i ) |-

Soit Ma le plus grand des nombres \s,i^p — Sn\, ..., |.Ç/;^, — s,i |. J j'expression précédente sera au plus égale à

Cette quantité tendra vers zéro pour n r= ce, si l'un des deux facteurs qui la composent tend vers zéro, l'autre restant fini.

i99. Supposons, en premier lieu, avec Diriclilel : i" Que la série

( 4 ) hl — «2 I + • • • + I «/^4-l — 3(„ I + . . .

2° Qu'on ait, pour /i :=cc,

lima,^=: o;

3" Que les modules des sommes ^i, ^o, ... ne surpassent pas une limite fixe L.

Si ces conditions sont remplies, on aura

£,'^ tendant vers zéro.

D'après la seconde hjpotlièse, a,;^^ tendra également vers zéro. Enfin les quantités \sn+p — ^//|, ... et, par suite, M„ ne surpasseront pas 2L. 11 y aura donc convergence.

Le cas particulier le plus intéressant est celui où l'on suppose :

i'^ Que les quantités a sont positives et décroissantes.

2" Qu'on ait linia/2=o. Dans ce cas, la série (4), qui se réduit à

est évidemment convergente, et a pour somme a,.

3° Que les quantités ?^i, «25 • • • forment une suite périodique, telle que la somme des termes d'une période soit nulle.

Particularisons encore, en supposant que la suite des u se réduise à la suivante

nous obtiendrons ce théorème :

Une série

y. Y — oc 2 H- ag — a^ H- . . . ,

cloîit Les termes sont positifs et décroissants, et tels que Von ait lima,2=: o, est toujours convergente.