Si la fonction fesl intégrable et si son maximum M
et son minimum m sont de même signe, - sera intégrable.
En effet, l'oscillation 1)^ de - dans l'élément ek sera
\m,, M/tl"! Myt^^U- I "^ m'^ "^ ''^^
Donc
11 m \ i-^/g/. 7 — Il m \ 0/^/.=: o. ^ ■ ni^ ^
oi. On dit que l'intégrale
Sf/(^, r, . . .)de
est d'un ordre de multiplicité «, si le nombre des dimensions du champ E, dans lequel elle est prise (ou, ce qui revient au même, le nombre des variables indépendantes x^ .) est égal à /?.
o5. Les théorèmes exposés jusqu'à présent ne dépendent aucunement de ce nombre n. Mais, dans le cas des intégrales
simples, où /i = i, il est nécessaire, pour se conformer aux: usages reçus, d'introduire quelques légères modifications aux notions précédentes.
Presque toujours, le champ de l'intégration est le domaine d'un seul tenant formé parles nombres compris entre deux nombres fixes a et b. On doit alors partager l'intervalle ah en éléments infiniment petits dx^-, dx^^ . . . , et l'on représente l'intégrale par la notation
h f{x)dx.
On voit que le signe de sommation S a été remplacé paile signe équivalent /, et qu'au lieu de désigner le champ par une seule lettre, on met en évidence ses deux extrémités r/, b^ qu'on nomme les limites inférieure et supérieure de l'intégrale.
Si b > a, ce sont là des changements de pure forme ; mais si b<ia^ on introduit une nouvelle convention que nous devons signaler. Dans la théorie générale, Tétendue des éléments de était toujours considérée comme étant une quantité positive. Ici, au contraire, nous aiïécterons chacun des segments dx du signe — si 6 << <^ (auquel cas x décroît en variant de a à ^).
Il résulte évidemment de cette convention qu'on a
(3) Ç f{x)dx^- ( f{x)dx.
lin outre,
(4) r f{x) dx-^ f f{x) dx = ( f{x) dx.
Car s\ a<^b <^e, cette égalité est un cas particulier d'une proposition énoncée au n" oO, et notre présente convention la rend applicable aux autres cas.
Si
'^'^Ai:
on aura (51)
(5) f f{a^)dx^c' f f'{x)dx-{-c" f f\x)dx-\-....
Si M, m désignent le maximum et le minimum de /(-t) dans le champ a6, et L le maximum de son module, l'étendue du champ étant évidemment \h — a |, on aura (49)
56. Le calcul d'une intégrale multiple d'ordre n se ramène, ainsi qu'on va le voir, lorsque le champ a une étendue mesurable, à celui de n intégrales simples successives.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, n^=^i. Le champ E sera représenté géométriquement par un ensemble de points (^, jk) situés dans un plan.
Cela posé, les valeurs de j^, auxquelles correspondent des points de E, forment un ensemble borné F. Soit Tj l'une d'elles. Les valeurs de x qui, associées à '/], donnent des points de E, forment un ensemble Gr, également borné. Nous ne pouvons pas affirmer que G-^ ait une longueur mesurable, ni que la fonction /"(.r, '^) y soit intégrable; mais cette fonction étant bornée, on pourra toujours déterminer, dans l'intérieur de Grp son intégrale par excès et son intégrale par défaut. Ce seront des fonctions de -/j, que nous pourrons désigner par J(yi) et 7(^1), et qui sont bornées dans le domaine F.
Nous pourrons donc déterminer, dans l'intérieur de F : 1° l'intégrale par excès de J(v)), que nous désignerons par R ; 2° l'intégrale par défaut dey (-^i), que nous désignerons par A'. Comme on a évidemment J('^i) >y ('a)j ^ sera au plus égal à l'intégrale par défaut de J('/^) et, a fortiori, au plus égal àK.
VARIABLES RÉELLES. l\3
Nous allons montrer, d'autre part, que K est au plus égal à l'intégrale double
prise par excès.
A cet effet, décomposons le plan en rectangles infiniment petits par des parallèles aux axes. Celui de ces rectangles qui est limité par les droites x = œi, x = œi-\- dxi, yz=y^^ y z=yj^-^ dfk a pour aire dxidyk\ nous le désignerons par eikj s'il est tout entier intérieur à E, par e\j^ s'il contient un point de la frontière de E. Dans chacun des rectangles <?/a, la fonction y(^, y) admettra un maximum M/a; et dans les rectangles e'-/^, elle ne pourra surpasser un nombre fixe M, maximum de /(^, y) dans le domaine E.
L'ensemble G-^ est formé par les points communs à E et à la droite jK=: Tj. Les parallèles aux x que nous avons tracées partagent cette droite en segments, et l'intégrale J(y]) est égale à la somme des intégrales partielles prises dans l'intérieur des portions communes à Eet à ces divers segments.
Supposons 7) compris entre y /f ei y]i-\- dy^t k a^^ant une valeur déterminée. Soit eih l'nn des rectangles intérieurs correspondants à cette valeur de k. Le segment de la droitey = r, contenu dans ce rectangle a pour longueur dxi et se trouve en entier dans E; d'ailleurs la fonction y en chaque point de ce segment a une valeur au plus égale à M/^. La valeur de l'intégrale correspondante ne peut donc surpasser Mtkdxi.
Soit, d'autre part, e'^.^ un des rectangles également compris entre les droites y =z yi^ et y =y/f + dy^^ mais qui rencontrent la frontière de E. La longueur (intérieure) de la portion de la droite jK = 'r\ commune à E et à ce rectangle ne peut surpasser dxi ; la valeur de / ne peut y surpasser M ; la valeur de l'intégrale correspondante ne peut donc surpasser ^Idxi.
La valeur de J(ïi) ne pourra donc surpasser la quantité
p-/, =: \ M,v, dxi -H M \ dxi,
la première somme s'étendant à ceux des rectangles <?;>, et la seconde à ceux des rectangles e'-j^ où k a la valeur constante que nous avons supposée.
Si donc nous désignons par 1;^ la valeur de l'intégrale par excès de J(Ti) dans l'intervalle de 'r\ =y/( à r, =y/(-\- dyj^, on aura
Chacun des éléments dyji intérieurs à F donne une relation de ce genre. Sommant ces égalités, il vient
On remarquera cjue dans la première somme du second membre figurent tous les rectangles eih intérieurs à E, car toute parallèle aux ^ qui rencontre un de ces rectangles, ou passe à une distance de son contour moindre que Técart de ce contour à la frontière de E, traverse nécessairement ce domaine. Au contraire, quelques-uns des rectangles frontières e'if^ pourront manquer dans la seconde somme.
Passons maintenant à la limite en supposant que l'étendue des rectangles décroisse indéfiniment. Le premier membre Yi\k aura évidemment pour limite l'intégrale K. La première somme du second membre aura pour limite l'intégrale double
V y(^,r) <:/e prise par excès. La seconde a pour limite zérn,
si E est mesurable, comme nous l'avons supposé; car la somme totale des aires des rectangles frontières tend vers
zéro, et à plus forte raison la somme \ e\,., si elle ne s'étend
qu'à une partie de ces rectangles.
Notre proposition est donc démontrée.
o7. On verra, par un raisonnement tout semblable, que l'intégrale par défaut /v est au moins égale à l'intégrale double
Sf{x,y)de^ prise par défaut. Mais, par hypothèse, /( e'
est intégrable. L'intégrale double a donc la même valeur, qu'on la prenne par défaut ou par excès. On aura donc
^et pour déterminer l'intégrale double, il suffira de calculer K ou A , qui s'obtiennent chacun par deux intégrations simples successives.
58. Supposons en particulier le champ E constitué de telle sorte qu'une parallèle j^ =: r, à l'axe des x ne coupe sa frontière qu^en deux points ayant pour abscisses 'f (tj) et ^{r,). Soit, pour fixer les idées, ^(^i) > ^(vj). Si la fonction y(^, y,) est intégrable dans l'intervalle de 'f (t,) à ^{'f^), on aura
JMr=J{r^
Soient 6 et B le minimum et le maximum de k dans toul le champ. Si J('îo) est intégrable de ^ à B, on aura
f{œ,'r,)dx
et en appelant y la variable de sommation, précédemment désignée par r^,
^f{x,y)de^K^ f
Supposons de même : i" qu'une parallèle ^ ==: ^ à l'axe des j^ ne coupe la frontière de E qu'en deux points ayant pour ordonnées <}(;) et ^'(S)>'|(i); 2" que/(?,j)') soit intégrable de 'l(w) à W(^); S*" que son intégrale J, (i) soit ellemême intégrable de a à A, a étant le minimum et A le maxi-
miim de x dans tout le cliamp E; on aura de la même manière
C/(^,7)r/er= f dx\ f f{^,y)dy\.
Lorsque le champ E est un rectangle, on a
et la comparaison des deux valeurs de l'intégrale double donne
On peut, dans ce cas, représenter cette intégrale double par la notation plus symétrique
/ / f{^^y)dJcdY,
qui met en évidence les deux intégrations à effectuer successivement; ces deux opérations peuvent d'ailleurs être interverties, comme nous venons de le voir.
