Supposons, en second lieu, avec Abel

I» Que la série (4) soit convergente ;

2° Que la série u^-\-. . .^ Un + - • . le soit aussi.

L'expression (5) tendra encore vers zéro. On a, d'autre

part,

a,,^^;— a, — (ai— a^)— . . .— (a,,+^,i — a„+^,) ;

d'où

A désignant la somme de la série (4)-

Donc le premier facteur de (3) restera au-dessous d'un nombre fixe. Quant aux quantités \sn+p— Sn\^ •••, elles seront toutes moindres que î«. Le second facteur tend donc vers zéro, et il j a encore convergence.

La convergence de la série (4) est évidemment assurée si les quantités a,, a^, ... sont réelles, positives et non crois-

santés ; dans ce cas particulier, on aura donc le théorème suivant :

Une série convergente reste encore convergente si Von multiplie ses divers ternies par des nombres positif s formant une suite non croissante.

301. Les séries absolument convergentes, étant les seules oii l'on puisse changer à son gré l'ordre des termes, peuvent seules être employées commodément dans l'analyse. Il importe d'apprendre à les reconnaître. Cette recherche doit se faire sur la série des modules, dont les termes sont réels et positifs. Cette circonstance donne un intérêt particulier à l'étude de la convergence de ce genre de séries, qui va désormais nous occuper exclusivement.

Cette recherche est fondée sur le principe suivant :

Si une série {ci termes positifs) Sc^/^ a ses termes plus petits à partir d^un certain rang que ceux d^ une série convergente de même nature ^Un-, elle sera elle-même convergente.

En effet, si l'on a

on aura a fortiori

Il est d'ailleurs évident qu'on n'altère pas la convergence d'une série en modifiant arbitrairement un certain nombre de termes au début. Il suffit donc que l'inégalité v,i<^ u,i ait lieu pour toutes les valeurs de n qui surpassent un nombre fixe V.

Si, au contraire, la série Hvn a ses termes plus grands que ceux de '^u,,, et, si cette dernière série est divergente, 'Ev/t le sera.

La démonstration est la même, le sens des inégalités étant renversé.

Pour jiig"er de la convergence ou de la divergence d'une série, il conviendra donc de former un tableau de séries convergentes, un autre de séries divergentes, auxquelles on comparera la série donnée.

302. La comparaison avec une progression géométrique nous fournit une première règle simple et suffisante dans un grand nombre de cas.

La série ^Un est convergente si, à partir d\in certain

" I — rang, on a constamment \iu,i <i r, r étant une constante

<C I ; divergente si, à parti/- d'un certain rang, on a

Car on a, dans le premier cas,

if,i<^/'", S r" convergente,

et, dans le second,

//,,>/•", Sr" divergente.

Le premier cas se présentera, en particulier, si \Un tend pour n = œ vers une limite / moindre que i ; car soit r une (juantité quelconque comprise entre / et l'unité; on pourra trouver un nombre v à partir duquel \u„ différera de / d'une quantité moindre en valeur absolue que / — ;•. A partir de ce

"/ — ^ moment, on aura constamment \Uu >■ r.

On voit de même que le second cas se présente si \ u„

tend vers une limite << i .

303. Lorsque la règle précédente ne s'applique plus, on se trouve conduit à chercher de nouvelles séries moins rapidement convergentes (ou divergentes) que les progressions géométriques, pour leur comparer la série donnée.

On peut construire à volonté de semblables séries par les considérations suivantes :

Soit Ml, -.., M,, une suite de quantités positives crois-

SÉJUES. 289

santés, et telles que Ton ait limM,/ = do. La série

(6) Mj-i- (M2- Ml) 4-. ■ . ■+- (M,- ]VI„-i) -H. . .

sera une série divergente à termes positifs, où la somme s,, des n premiers termes sera M.,i.

La série

sera, au contraire, convergente; la somme s,i des n premiers j

termes a pour valeur j-j ^ 5 expression dont la limite f.

est r-r-'

Réciproquement, toute série à termes positifs pourra être mise sous la forme (6) si elle est divergente, sous la forme (7) si elle est convergente. Les quantités M, , . . . , M,i seront déterminées, dans le premier cas, par la condition

dans le second, par les conditions

d'où l'on tire les valeurs

H 304. Nous allons montrer que la suite M,, .,., M,/, ...

Ipermet de construire deux systèmes de séries en nombre illimité, à convergence (ou à divergence) de moins en moins rapide, et dont les séries (7) et (6) ne sont que les premiers termes.

Nous nous appuierons, pour le faire, sur quelques inégalités de la théorie des logarithmes que nous allons établir. 3. - L zg

Si .r > o, on aura

oc'

d'où, en posant x =^ '- — ^-^j (jr >- s),

Mais on a, d'autre part, si o < j; < i ,