I — ÔC

d'où, en posant

En prenant les logarithmes dans les deux membres de ce^ inégalités, il viendra

(8) - ^=^ < Log-/ - Log^ < •^-.

Plus généralement, posons

LogLogJ7 := Log2>^, Log Lo g.2 j:-' = Log3^, ..., .^

Ajj.ir = Log^Log2^. . .Log^.r.

On aura, si j^ >» :3,

Logr > Log:;, . . . , I-'Ogjxj > Log^

Appliquant les inégalités (8) à l'expression

Log;j,4 i7 — Log,x+i- = Lo il viendra

Faisons le produit des inégalités obtenues en posant successivement [i. = I, 2, . . . , m — i; multiplions encore par l'inégalité (8); il viendra

(9) -=T ^- < LOg„,/ — LOg,;,^ < ^~^' ■

305. Ces préliminaires posés, nous pouvons établir le tliéorème suivant :

Théorème. — Soit M, , ..., M,^ une suite de quantités positives satisfaisant aux conditions

M;,^.i > M,, , li m M„ =r 00,

et soit p une quantité positive quelconque : Les séries

Zé M„iMP

MP ' ZM„^,LogM,^iLogPM„ Z<M„^iA„,M„+,LogP^M,,'

seront toutes convergentes, et les séries

seront toutes divergentes.

En elïet, les quantités MP, ..., MP, ... satisfaisant évidemment aux conditions

MP > MP et limMP = oo,

n — <xt

, . Y'MP^i — MP /

la série y'~^9 — ïjp^ ^^^^ convergente ( et aura pour somme

~y La série^-^i!-^^^ le sera également (297) si le rapport

des termes généraux de ces deux séries reste inférieur à une limite fixe. Il est aisé de voir qu'il en est ainsi; car, si nous posons, pour abréger,

et q sera positif et < i . Soit [x un entier quelconque, tel que Ton ait - << P- On aura

a,, < — — 1 < i-h r/î^ -h . . . 4- 7 (J- < ;x. 1 - - rjv-

Donc la série

est convergente, et l'on sait d'ailleurs que la série

est divergente.

En second lieu, les quantités

Log,„Mi, ..., Log,„M„, ...

satisfont évidemment aux relations

Log„,M„+i > Log,„M,,, lim Log,„M,, = oc.

Donc la série

Log,„M„^i— Log,„M„,

Log,„x\l„+iLogP^M„

est convergente. Or, en appliquant l'inégalité^ (9), on voit que ses termes sont plus grands que ceux de la série

2j M,,+i A,;,, iVl„+i Lo;

Celle-ci est donc convergente.

SÉRIKS.

De même, la série

(Log,„M«+i-Log,„M„)

est divergente, et ses termes sont plus grands que ceux de la série

Celle-ci est donc divergente.