Gomme application parliculière, posons

Mi — i, ..., Un=n,

Nous obtiendrons la suite de séries divergentes

^ n ^ n Log/i ^ n Log„i n

Posant, d'autre part, M/^^ n — ^ r, nous aurons de même la suite de séries convergentes

^^n{n — I)?' ^ Al LogAi LogP(/i — i

A cette dernière suite, on peut substituer celle-ci, dont les termes sont respectivement plus petits et dont la forme est un peu plus simple,

j^ Ai^+P ' ^ n Log^^P /i ' ' Z^n XfnTi LogP n

On remarquera que, x étant un nombre donné quelconque, ses logarithmes successifs Log^, Log2^, . . . décroîtront sans

I cesse et finiront par devenir négatifs. Si Logjx^ est négatif, il n'aura plus de logarithme arithmétique, et les symboles suivants Log[j,+, x, . . . n'auront plus de sens. Il pourra donc se présenter au début de chacune des séries types (lo) et (i i) un nombre limité de termes illusoires, suivis d'un terme négatif. Mais on pourra leur sub-

stituer des nombres positifs arbitraires sans altérer la convergence ou la divergence.

307. Les considérations suivantes montrent directement la divergence des séries (lo) et la convergence des séries (i i). Elles permettent, en outre, d'assigner deux limites entre lesquelles se trouve comprise la somme d'un nombre quelconque de termes consécutifs de chacune d'elles.

Soit F(/z) une fonction de /?, dont la dérivée /(/^) soit positive, continue et décroissante, et tende vers zéro pour n=^cc. On a, pour les valeurs de œ comprises entre n et /? + I,

et, en intégrant de n a n -\- \ ,

Posons successivement Ai = v, v -h j , ..., v -\- p — i et ajoutons les inégalités obtenues; il viendra

/(v) +. . .4-/(v -\-j> - I) > J f{.r)cU-

La somme /(v 4- i )-}-.. . -{-/(v +/:>) sera donc comprise entre les deux nombres fixes

et

Soit en particuliei

F(/i) =r Log/i, d'où /(/l)=z-;

posons en outre v = i, nous voyons que la somme

est comprise entre Log(/> + i) et Log(/? + t) — i .

Si V tend vers 00, /(v) et/(vH-/?) tendant vers zéro, on aura

lim[/(v4-i)+...-h/(v-i-/?)] = lim / f{x)dx.

Pour que la série ^f{n) soit convergente, il faut et il suffit que le premier membre de cette égalité soit nul quel que soit/?. La condition nécessaire et suffisante pour la convergence est donc que l'intégrale

tende vers zéro ou, ce qui revient au même, que ¥{n) tende vers une limite finie pour n = co.