V-Hl

Donc, à partir du rang v, la série ^Vn aura ses termes au plus

égaux à ceux de la série convergente —^u,i', elle est donc

elle-même convergente.

La seconde partie du théorème s'établit de même, le sens des inégalités étant changé.

310. Si l'on suppose que ^Un soit une progression géométrique de raison r, on aura la proposition suivante :

La série S^„ sera convergente si, pour /i>v, on a constamment

— ^>-, /• étant < j

et en particulier si — ~ tend vers une limite /> 1 "«-1-1

EUe sera divergente si, pour /i^v, on a constamment

<C -) r étant >• i

et en particulier si — — tend vers une limite l<^ i

311. La considération des séries (lo) et (i i) conduit à des règles plus précises. Pour les formuler, calculons pour chacune de ces séries la valeur approchée du rapport — —y en

y négligeant les termes d'ordre plus élevé que — • On a, avec cette approximation,

(/i 4-i)P ^P+ pn9-^-^. . . p p(p — t) I

nP ~ nP ~^~^n~^ 2 n''

Log(/i4-i) =Log/« -4- Log( 1 -h - j

Log/i H

Lo2n I I

^ V nLogn

Log2(/Z -f-l) rr: Log^n + Log( I -f- )

- \ Il l no /> I

^ n Log/i

n luo^n

Logg/if I

et généralement

Log,„ ( Al + I) -= Log,,, /J iH ^

LogP„(« + ,)--=LogP„ «(,+ £

Eafin

= IH \ = h ... H ,

{n-^iY^P i-hp (i-hp)p

nA,„nLog?^^n

n /iLo£/i nA,„n

Telles sont les valeurs du rapport — — pour les séries (10) et (11). La première de ces valeurs seule est exacte. Les autres doivent être complétées par un reste de la forme -\

8/, étant infiniment petit pour n = 00.

312. Gela poséj une série ^Vn sera divergente si, à partir de /i = V, on a constamment

ou, plus généralement,

— ^^ iH h. ..H

Vn+\ ~ \ fi n\„,n

Xétant une quantité positive fixe.

En effet, à la comparant à la série (10) correspondante, la différence

Vn-^X U

finira par devenir négative, 8« étant infiniment petit.

An contraire, S(',i sera convergente, si l'on peut trouver une quantité positive À telle que l'on ait, à partir de ii = v,

ou, plus généralement,

('„4-i ' n /iLo'^/i ii\,„n

En effet, comparons la série ^Vn à la série correspondante Sw/,, formée avec une valeur de 0 moindre que A. La diflerence

^\i Un = ^ — P K

prendra, pour de grandes valeurs de /i, le signe de son premier terme, qui est positif.