Lorsque le rapport — ~ est développable suivant les

puissances entières de - (ce cas est à peu près le seul qui

se présente dans la pratique), les règles précédentes permettent de décider, dans tous les cas, s'il y a ou non convergence.

Soit, en effet, en s'arrêtant aux termes du second ordre,

(^,+1 n fr

%i restant fini pour ji = ce.

Si a << I , ou a= I, p <ï, il J aura divergence; car, eu

comparant la série llç,i à la suivante

(jiii est divergente, on aura

et le terme principal, qui, pour de grandes valeurs de n', donne son signe à cette expression, sera négatif.

Au contraire, si a >> i , ou a = i , [^ > i , il y aura convergence; car, en comparant la série ^Vn à la série convergente

2j''''~'Z^,iho^^^9n

on aura

/iLog/i li'

expression qui, pour n suffisamment grand, sera positive, car son terme principal est positif.

314. Voici une dernière règle de convergence, due à M. Kummer :

Si, pour n 5 v, on peut mettre le rapport — — sous la forme

a, <?v, . . ., C/i, . . . désignant des quantités positives quelconques, la série ^Vn sera convergente.

On a, en effet,

^'n^fi ^\-hl^n-\-l

Ajoutons les équations obtenues en donnant successivement

SÉRIES. 3oi

à n les valeurs v, v -f- i , v + /? — i , il viendra

^v+iH-. ■ .H- (W;, = < — -•

Donc la somme du premier membre tend, pour p r^- x>, vers une limite au plus égale à -^^.

315. Séries a double sens. — On considère parfois des séries telles que

formées d'une infinité de termes s'étendant dans les deux sens à partir d'un terme central u^. La somme jr d'une semblable série sera, par définition, la limite de la somme

s, un — ( Il -m -f- . . . + f/o 4- • • • -^.Mn),

lorsque m et 11 tendent tous deux vers oc, sans être liés par aucune relation. S'il existe une semblable limite, la série sera convergente. Pour cela, il est évidemment nécessaire et suffisant que les deux séries partielles

i^oH-. . -H- ^'« + . • . et //!-!-.. .4- f<,„ -h. .. .

soient convergentes séparément.

La série (12) sera absolument convergente si ces deux séries le sont. On pourra, dans ce cas, altérer à volonté l'ordre des termes sans changer la somme de la série; les écrire, par exemple, dans l'ordre suivant

de manière à n'avoir plus qu'une série ordinaire. 1 Pour former le produit de deux séries de l'espèce (i'^), ft lorsqu'elles sont absolument convergentes, on n'aura évidemment qu'à former les produits de leurs termes deux à deux; les termes ainsi obtenus, écrits dans un ordre quelconque à la suite les uns des autres, formeront une nouvelle série, égale au produit cherché.

302 l'RE.Mlf'RK PARTIK. — CHAPITRE III.

316. Séries multiples. — Soit u,,^ „,, un sjstème de quantités, distinguées les unes des autres au moyen de plusieurs indices /??<, m^, ..., dont chacun peut prendre une infinité de valeurs entières (par exemple, toutes les valeurs entières et positives).

On peut, d'une infinité de manières, écrire ces termes à la suite les uns des autres et former ainsi une série où chaque terme figure à un rang déterminé, sans qu'aucun d'eux soit omis. (On peut, par exemple, en désignant par e^^e^^ -'■ une suite quelconque d'entiers croissants, écrire d'abord, dans l'ordre qu'on voudra, ceux des termes ^^„j,„.,... en nombre limité, pour lesquels | mi | + | m^ | + • • • < ^m p»is ceux, en nombre limité, où cette somme est >> <?i, mais ^ Co, et ainsi de suite.)

Une série ainsi formée

dont les termes successifs ne sont autres que les nombres "m^?7i.... écrits dans un certain ordre, représentera pour nous, si elle est convergente, une valeur de la série multiple

Toutes les séries V se déduisant de l'une d'elles V par le changement de l'ordre de ses termes, on voit (291-292) que, si \' est semi-convergente, la série multiple admet uue infinité de valeurs difîerentes. Le symbole ^u,,,^,,,.... n'acquerra donc un sens précis que lorsqu'on aura fixé l'ordre dans lequel les termes devront être successivement ajoutés.

Au contraire, si V est absolument convergente, la série multiple n'aura qu'une valeur unique (289). Nous dirons, dans ce cas, qu'elle est absolument convergente. La série plus générale Sa,„^„,, ?/,„ „,^ le sera également, si les modules des multiplicateurs y^in^ni.... "e surpassent pas un nombre fixe (297). Enfin, on obtiendra le produit de deux semblables

séries en multipliant leurs termes deux à deux et ajoutant dans un ordre quelconque les produits ainsi obtenus.

317. Considérons en particulier la série à termes réels et positifs

Zji'nl

(où l'on exclut le terme correspondant à m, — Wo. . . = m« = o, qui serait infini), et cherchons dans quel cas elle sera convergente.

Soit X un entier positif quelconque. Le nombre des systèmes de valeurs de m,, . . . , nin dont la valeur absolue ne surpasse pas x est évidemment égal à (2^ + 1)'^. Si nous excluons ceux de ces systèmes où //?<, . . ., nin sont tous < x en valeur absolue, il en restera

{ix -f-i)"— {ix — ly — ni'^x"'-'^-^

Soit S^ l'ensemble des termes de S qui correspondent aux systèmes restants. Chacun de ces termes est évidemment compris entre les deux limites suivantes -^ et ;; — -;— ^; on aura donc

On a d'ailleurs, évidemment,

S = S, + ...-hS^-H...

et, par suite,

en posant, pour abréger,

I S sera donc convergente ou divergente en même temps que T.

3o4 PREx>nÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

Mais on peut évidemment écrire

An tendant pour ^ = 00 vers la limite constante Aia". Pour que T soit convergent, il sera nécessaire et suffisant que la série

le soit, ce qui donne (306) la condition