SI CL

En effet, donnons successivement aux variables mi , m,, ... tous les systèmes de valeurs réelles qui satisfont à la condition

J^es valeurs correspondantes de o seront évidemment finies et de même signe, car cp ne pourrait changer de signe qu'en s'annulant.

Soient K la plus grande de ces valeurs, k la plus petite. Le rapport des fonctions cp et (m;-}-. . .+ mf^)'^ restera com-

SÉRIES. 3o5

pris entre K et A* pour tous les systèmes de valeurs que l'on considère. D'ailleurs ce rapport, étant une fonction homogène et de degré zéro de /??,, ..., w„, ne dépend que des rapports mutuels de ces quantités; il sera donc toujours compris entre K et k.

D'autre part, '} étant de degré < 2a par raj)port à /?z<, ..., tUn, son rapport à (m;H-...H-/?z;;)û' tendra vers zéro si les variables /;z< , ..., m„, ou seulement quelques-unes d'entre elles, croissent indéfiniment; car ce rapport est moindre que

-— j /«p désignant la plus grande en valeur absolue des quantités m,, ..., m„, et ce dernier rapport tend évidemment vers zéro.

On aura donc

'-fn, . . .m.

,^^ étant une quantité finie, comprise pour des valeurs suffisamment grandes des variables entre deux limites fixes,

voisines de K et de k. La série V —^ sera donc conver-

gente ou divergente en même temps que la série S, considérée tout à l'heure.