Produits infinis. — Soient, comme précédemment
«1, 11^, . . . , Un, . . .
une suite indéfinie de quantités. Formons les produits successifs
U,i= UiU^. . .u„.
Si n augmente indéfiniment, il peut se faire : 1° Que ces produits successifs ne tendent vers aucune limite déterminée;
2" Qu'ils tendent vers 00;
3" Qu'ils tendent vers une limite finie H.
On dira, dans ce dernier cas, que le produit infini
est convergent et a pour valeur II.
321. Nous admettrons, pour plus de généralité, que u^^ ..., u,i, .. . puissent être complexes. Soit, en général,
u,i— an-+- ^„i = p„(cosa„4- «sina„).
Le produit 11;^ aura pour module pi... 0,1 et pour argument a, -|-...+ a„.
Deux cas de convergence seront à distinguer suivant que, pour Al = 00, U,i tend vers zéro ou vers une limite différente de zéro.
SÉRIES. 3o7
Le premier cas se présentera, quels que soient les arguments, si l'on a
limpi. . .pn—o,
ou, ce qui revient au même,
limLogpi. . .p«=lim(Logpi-+-. . . -+- Logp,,) =— oo.
Ce cas se reconnaîtra donc à ce caractère que la série
Logpi-h...-l-Logp„-j-...
est divergente et a pour limite — oo.
322. Supposons, au contraire, que Un tende vers une quantité fixe différente de zéro, ayant P pour module et A pour l'un de ses arguments. Il faudra évidemment pour cela que l'on ait
Logp, + . . . -h Logp„ = LogP -h R,
ai H- . . . -h a,, = A + 2 A-„7H- R;,
'ri}
kfi étant un entier et R/^, R^^ des quantités qui tendent vers zéro pour n = co. D'ailleurs les arguments a,, ..., a^, n'étant déterminés chacun qu'aux multiples près de 2Tc, pourront être choisis successivement de manière à faire évanouir les entiers k,i^ de sorte que les deux séries
(i4) Logpi4-.. .-f-Logp„H-...,
(i5) ai -h. . .+ a„+. . .
soient convergentes (leurs sommes étant LogP et A).
Au lieu de la série (14)5 il sera souvent plus commode de considérer la série
(16) Logp;-i-...-f-Logp2-i-...,
qui s'obtient en doublant tous ses termes.
Si les séries (i5) et (16) sont absolument convergentes, il en sera de même du produit II, dont la valeur sera évidemment indépendante de l'ordre des facteurs. Il en dépendra, au contraire, et sera semi-convergent, si l'une ou l'autre des deux séries est semi-convergente.
3o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Une condition nécessaire, sinon suffisante, pour la convergence des séries ci-dessus est que leurs termes tendent vers zéro pour n =z co. Il faut pour cela que pf^ tende vers l'unité et a,^ vers zéro. Mais on a
sin —
P«~«/' -+-^1> a,, —arc
ces
Pn
11 faudra donc que a,i tende vers l'unité et bn vers zéro. 323. Théorî^me. — Pour que le produit
n rrr i/, . . . w„ . . .
soit absolument convergent vers une limite différente de zéro, il faut et il suffit que la. série
soit absolument convergente.
En effet, la convergence de cette série, comme celle du produit, exige évidemment que l'on ait
lima;j:=i, lim^/^ = o, limp„=:i.
Cela posé, les expressions
Logp2 Log(i-^p;t — i)
et
Vu
. b, arc sin —
tendront évidemment vers l'unité pour n = oo. Ces facteurs seront donc, à partir d'un certain rang, inférieurs à une limite fixe, et il en sera de même de leurs inverses. Donc les séries (i4) et (i5) seront absolument convergentes en même temps que les séries plus simples
SEy-L°=p,;=5;(?î-.)-2^«;i + ^j
SÉIUES. 809
et
Mais si la série \ bn est ai3SolLiment convergente, il en sera
de même de la série \ ^);, dont les termes ont des modales moindres, au moins à partir d'un certain rang. D'autre part, la série \ (a,^ — i) peut s'écrire
et sera absolument convergente en même temps que la série
\ {a,i — 1), puisque le facteur a„ + i tend, pour n = 00, vers
une limite fixe égale à 2. Donc, pour que FI soit absolument convergent, il faut et il suffit que les deux séries
\(a„— t) et \z>„
soient absolument convergentes, ou, ce qui revient au même, que la série
le soit.
