Comme application, considérons l'expression

Ii{n,z)

Soit r(^) la limite vers laquelle elle tend pour n r=r oo. On aura évidemment T(z) = co si z est un entier négatif, car, à partir de la valeur n = — ^ + i, toutes les fonctions n(n, z) auront un facteur nul au dénominateur.

Pour toute autre valeur de z, T(z) aura, au contraire, une valeur finie et déterminée. En effet, on peut évidemment écrire

n(3,^) ii(/i-hi,5)

Le

pro

et il ne reste qu'à prouver la convergence de ce produit infini. Or on a

T](n-\-i,z) n (n -{- lY

Afi tendant, pour n = cc, vers la limite fixe duit est donc absolument convergent.

326. On a parfois à considérer des produits infinis dans les deux sens ou des produits multiples. Leur introduction ne peut plus offrir aucune difficulté.