Si une série

5 =z ?^i -h «2 + • • • -H "« 4- . . . dont les termes sont des fonctions d'une ou plusieurs va-

SÉRIES. 3ll

viables ^, y, . . • est convergente pour tous les systèmes de valeurs de ces variables constituant un certain domaine, elle représentera dans ce domaine une fonction de x, y^ ....

La convergence de la série sera uniforme, si Ton peut, quelle que soit la quantité positive s, déterminer un entier v, indépendant ôe œ, y, ... et tel que, pour n > v, on ait toujours

Les séries uniformément convergentes peuvent, à beaucoup d'égards, être assimilées aux sommes formées d'un nombre limité de termes, ainsi que le montrent les théorèmes suivants :

328. Théorème L — Une série uniformément convergente, dont les termes sont des fonctions continues de x^ y, . . . , est elle-même une fonction continue.

Posons, en effet,

s — Sn H- R.

Changeons ^, j^, . . . en ^ + A^, y -\- Ar, ... ; soient A^,

^Sni AR les accroissements correspondants de s, s,i, R ; on

aura

As — A5„ -+- AR = A5„ + R + AR — R ; d'où