Théorème II. — Une série uniformément convergente

et dont les termes sont des fonctions intégrables dans un domaine borné E, est elle-même intégrable dans ce domaine; elle a pour intégrale la série

de

laquelle sera uniformément convergente.

En effet, décomposons E en éléments infiniment petits de^, . . ., deji^ .... Soit O^ l'oscillation de s dans l'élément dck^ Il faut prouver que llOkdck tend vers zéro en même temps que l'étendue des éléments. «

Posons encore

et soient O^^, (Oy^ les oscillations de Sn et de R dans l'élément dck- On aura évidemment

Oa- < o;, 4- co/,,

d'où

2 Oa- de/^: = S O; de^ H- 2 to^. de,,.

On peut, par hypothèse, prendre n assez grand pour que

R soit constamment moindre en valeur absolue qu'une quantité positive quelconque s. Son oscillation to/^ sera dès lors moindre que :2s, et l'on aura

S w/^ de,, << 2 £ E de,, << 2 s E.

Le nombre n étant ainsi choisi, s,i étant la somme d'un nombre fini de fonctions intégrables sera intégrable ; on pourra donc assigner une quantité 0, telle que si de^^ .. ., deii sont tous << 5, ^OJ^, dcj^ soit <C t. On aura alors l

20/,A^/, <£(2E-+-i), quantité qui tend vers zéro avec s; donc s est intégrable.

SÉRIES. 3i3

Son intégrale sera donnée par la formule

Il ne reste plus qu'à montrer que, si n tend vers oo,

X R<i<? tend vers zéro, et cela uniformément.

Or, on peut, par hypothèse, déterminer un entier v tel que, si n>v, |R| soit constamment moindre qu'un nombre positif quelconque s. Mais alors

SRde E

quantité qui tend vers zéro avec s.