Théorè:me ni. — Si la série

est convergente, et la série

uniformément convergente dans l'intérieur d'un domaine Y.\ si, de plus, les fonctions f[{x), . . .,f^{œ), . . . sont continues dans l'intérieur de E', s(x) admettra dans l' intérieur de E une dérivée, égale à a-(^).

Soient, en effet, x un point quelconque intérieur à E; a un autre point, assez voisin de x pour que tous les points de l'intervalle ax soient encore intérieurs à E; <j[x) sera intégrable de a à ^ ; et l'on aura

/ c^{t)dtr= f;çt)dt -{-... -^ / /:

{t)dt

Ai.

3l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE lll.

Le premier membre admet une dérivée, égale à <3-(^); donc il en est de même du second; s (a) étant une constante, s(x) aura une dérivée, égale à a-(^).