Considérons encore, avec M. Weierstrass, la série

F(^) = ^ 6" cosa^Tzx,

où b est une constante positive <C i , et a un entier impair

Cette série est uniformément convergente ; car, si l'on désigne par ¥tn{oc) la somme des m premiers termes, par R,„ le reste, on aura

quantité indépendante de x et qui tend vers zéro pour m = 00.

Si ab <ii^ ^{^) aura pour dérivée la série

car cette dernière série sera aussi uniformément convergente.

Nous allons montrer, au contraire, que, si ab surpasse un certain nombre fixe, F(^) n'aura pas de dérivée.

On peut évidemment écrire

CL X i:i3 Ot/^î -h S/,i5

a,„ étant un entier et \ni une fraction comprise entre — i et -h ~. Posons

a"' em étant égal à dz i . La quantité

SÉKIES. 817

sera ud entier. D'autre part, k aura le signe de e,„, et son

module sera au plus égal à - — --, donc h tendra vers zéro si

m croît indéfiniment.

Considérons l'expression

Soient Sm la somme de ses în premiers termes, R^ le reste. On aura

tdt

-V / Tiia^'b"'—]) -

^ ^ ab — i ab — 1

Passons à la considération de Rm- Pour n^m, on aura {a et e„i étant impairs)

cosa'^.3?7: r=r cosa"'-'"{oL„,-i- ç,„)- = (— i)^m ces «'*-'" 5,„7r

et, par suite,

R,„ :^ ^ f^ \b'^{i-h ces a«-'« 'ç,„ 71 ).

La quantité sous le signe \ a tous ses termes positifs. D'ailleurs, le premier de ces termes, ^'"(i + cosç^^tt), est

3l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

» r / • Tz t:

^o"^: car, ç^^tl étant compris entre et -? son cosinus ne

peut être négatif.

On aura donc

et R,„ aura, d'ailleurs, le signe de ( — i)°''«+'e,„. Si donc on a

9 > — r- — ' d'où ab>î-{ "y

6 ab — I 2

on aura

quantité qui croît indéfiniment avec m.

u ailleurs, y a, ainsi que K/», le signe de

( — \Y<rà-^ Cm^ et comme on peut, pour chaque valeur de m, se donner arbitrairement le signe de Cm^ on voit qu'on pourra

à volonté faire tendre vers l'infini positif

ou négatif, ou lui faire parcourir une suite de valeurs de signes différents et indéfiniment croissantes, h tendant toujours vers zéro.

On voit, par l'exemple qui précède, qii'// existe des fonctions continues n'ayant de dérivée pour aucune valeur de la variable. j

334. La fonction précédente F(^) n'est bornée dans aucun intervalle.

Soit, en effet, cd un intervalle quelconque. Soient —,

— -— , . . • , celles des tractions de dénominateur — qui

sont contenues dans cet intervalle; si nous donnons à ^ la série de ces valeurs intermédiaires entre c et d^ la variation

totale T correspondante sera

Ki)-''<H-'î>(^

et sera au moins égale à yr^, r; désignant la plus petite des quantités

Or on a, par hypothèse,

d'où

<c, ttl±l^,..

D'autre part, nous avons vu, dans le numéro précédent, qu'en posant

a'"a:=zct„,^ç,n, à —

em — Ç

on avait

h pU ab — i

Faisant, en particulier, ?,«= o, e,«=^ + i , a„i= p -f- ;, d'où ,r = , A =^ — , Il viendra

rf^m ^m

On au

ra donc

Si nous faisons croître ni indéfiniment, b étant << i et a6 > i , cette expression croîtra indéfiniment, ce qui établit notre proposition.