Soit

une série procédant suivant les puissances entières et positives de ^ — a.

Si, pour une valeur particulière C de ^ autre que a, la série est convergenie, son terme général tendra nécessairement vers zéro quand n augmente indéfiniment. On aura donc, en posant pour abréger | Ç — a\=z /-,

(l) Iim|A„/'"|rr=0.

Il Tzz: 00

Cette condition n'est pas suffisante; mais si elle est

remplie, et si l'on désigne par p une quantité positive quelconque moindre que r, la série S sera absolument et uniformément convergente pour les valeurs de z qui satisfont à

l'inégalité

Les séries dérivées

jouissent de la même propriété.

En effet, soit s une quantité positive quelconque. On peut, par hypothèse, déterminer un nombre v tel que toutes celles des quantités [A,//" | où /z ;> v soient << £. Les autres sont en nombre limité ; soient r, la plus grande d'entre elles, M la plus grande des deux quantités s, Tj : on aura, quel que soit 72,

Gela posé, considérons, par exemple, la série S'. Les modules de ses termes sont au plus égaux aux termes de la série

laquelle est convergente, car le rapport d'un terme au suivant a pour limite - •> quantité >> i .

L'uniformité de la convergence résulte d'ailleurs de ce que la nouvelle série a ses termes indépendants de z,

La série S représentera donc une fonction sjnectique dans lun cercle de rayon p décrit du point a comme centre, et sur ce cercle lui-même.