Gela posé, soit /- une quantité positive variable de o

J. — I. or

à 00. L'expression

sera croissante avec /*, et trois cas seront à distinguer :

i" La condition (i) n'est satisfaite pour aucune valeur de r. Ce cas se présentera, par exemple, si A/i== i . 2 ... ^. S'il en est ainsi, S ne convergera pour aucune valeur de ^, autre que a.

2" La condition (i) est au contraire satisfaite pour toute valeur de /•. Dans ce cas, r et par suite p pouvant être choisis aussi grands qu'on voudra, S sera convergente et définira une fonction synectique dans tout le plan.

Une semblable fonction se nomme une fonction entière. Telles sont, par exemple, les fonctions e^, sin^, coss.

3" La condition (i) est satisfaite pour des valeurs suffisamment petites de /■, mais ne l'est plus pour les valeurs suffisamment grandes. Ces deux classes de valeurs sont séparées par une valeur frontière R.

Traçons autour du point a comme centre, un cercle R de rayon R, auquel nous donnerons le nom de cercle de convergence, j

Si z est extérieur à K, on aura | :; — « | ^ R, et la série sera divergente.

Si z est intérieur à K, on aura \z — « | <C R et, en choisissant deux quantités p et r telles que l'on ait