I- — rt|^P</'<R

on voit que la série sera convergente. La fonction qu'elle représente sera d'ailleurs synectique dans tout cercle décrit du point a comme centre avec un rayon p moindre que R.

Enfin, si z est sur la circonférence de K, S pourra, suivant les cas, être convergente ou non.

La fonction synectiqviey"(^) représentée par une série S de puissances entières z — a dans l'intérieur de son cercle de convergence se nomme un élément de fonction analytique . Nous dirons, pour abréger, que le point a est le centre de cet élément et que R est son rayon.

338. Si Ao est nul, .f{z) s'annulera pour ^ = «, et l'on dira que ce point est un zéro de f{z). Ce zéro sera d'un degré de multiplicité m^ si A;;^ est le premier des coefficients de la suite Ao, A, , ... qui ne soit pas nul.

On aura dans ce cas

et l'on pourra déterminer une quantité 8 telle que, si

o <C\z — a I <C û, on ait toujours f{z) ^ o.

Nous avons vu en effet qu'il existe deux quantités M et r

telles que Ton ait

et, par suite, si | :? — « | < /",

\ k,„^,{z — a) ^ k„,+,{z — af -\- . . .\

Cette quantité décroît avec \z — a|; si donc on détermine S par la condition

on aura pour les valeurs de | :^ — a\ inférieures à ô

339. Théorème. — Soit f{z) une fonction synectique de z définie dans V intérieur d'' un contour fermé et continu C. Les points de V intérieur de ce contour pour lesquels f{z) prend une valeur déterminéeX sont nécessairement isolés, si la fonction f{z) ne se réduit pas à la constante \.

On peut supposer pour plus de simplicité X = o; car, s'il était différent de zéro, on n'aurait qu'à raisonner sur la

fonction f{z) — A, qui est définie dans le même domaine que/(^).

Supposons donc qu'il existe dans l'intérieur de G un point a, qui soit la limite d'une suite de points a<, a^, ... pour chacun desquels /(5) s'annule. Soit b un autre point quelconque intérieur à G. On peut joindre les points a et b par une ligne polygonale L située dans l'intérieur de G. Soit £ une quantité moindre que la plus courte distance de L et de G. Partageons la ligne L en arcs partiels aat^ ..., a^ah^^ , . . . dont chacun ait une longueur << s.

Si de l'un des points a^a^^ . . . , par exemple du point a^, comme centre, on décrit un cercle de rayon £, la fonction /*(^) sera représentée dans l'intérieur de ce cercle par la série de Taylor

et ce développement sera valable sur les arcs ah^ah et akCtkj^x^ qui sont contenus en entier dans ce cercle. j

Gonsidérons le premier développement, relatif au point «r, ^

Si l'un des coefficients /(a), /'(a), ... n'était pas nul, on pourrait, comme on l'a vu au numéro précédent, assigner une quantité o telle que /(^) ne s'annulât pour aucune valeur de z pour laquelle on aurait o <C | ^ — « | <C o, ce qui est contraire à la supposition que a est la limite d'une suite de points pour lesquels /(g) s'annule. Donc /(«), /'(«), ••• seront tous nuls, et l'on aura f(z) = o tout le long de l'arc ««4.

Mais ai sera la limite d'une suite de points de cet arc; on verra donc, par le même raisonnement, que tous les coefficients du second développement

s'annulent, et que /(g) est nul tout le long de l'arc «, r/o.

Gontinuant ainsi, on voit que f(z) doit s'annuler tout le long de L et en particulier à son extrémité 6, laquelle est,

par hypothèse, un point quelconque de l'intérieur de C. Donc f{z) est nul dans tout ce domaine.

340. Corollaire. — Soient /(^), f\{z) deux fonctions sjnectiques respectivement définies dans l'intérieur de deux contours fermés G, Ci qui se coupent mutuellement en deux points. Si dans la région D, intérieure à la fois à G et à Gi, les deux fonctions f{z) et f\{z) sont égales autrement qu'en des points isolés, les relations

'¥{z)^=.f{z) dans l'intérieur de G, =/i(-) dans l'intérieur de G^

définiront une fonction sjnectique F(^) dans tout l'intérieur de la région du plan entourée par ces deux contours.

On doit remarquer que F(^) est définie de deux manières différentes dans la région D; mais ces deux définitions coïncident; caria différence /*< (^) — f{z): étant synectique dans cette région, et ne s'y annulant pas seulement en des points isolés, y est identiquement nulle.

Ge point établi, la proposition devient évidente.