Tout élément

peut servir de point de départ, comme il suit, à la définition d'une fonction analytique/(^, z').

Supposons que ^, z', partant des valeurs initiales a, a', varient simultanément, d'une manière continue, suivant une loi exprimée par les équations

A chaque valeur t de ^ correspondront pour ^ et ^ deux valeurs associées Ç et Ç'; ces deux variables décriront ainsi deux lignes L, L' se terminant respectivement en des points associés b, b' .

Admettons qu'on puisse décomposer la ligne L en un nombre fini d'arcs partiels aa^^ ..., aiai^i, ... et déterminer une suite d'éléments correspondants S, ..., S/, ..., jouissant des propriétés suivantes.

La région de convergence certaine de Si étant définie par les deux cercles R^-, R'^, l'arc aiat^^ sera contenu en entier dans l'intérieur de R/, et l'arc associé à-^d-^^ de la ligne U sera contenu dans l'intérieur de R^.

La fonction fi^z^ z') que nous nous proposons de former sera définie pour chaque système de valeurs associées de z^ z' situées sur les arcs ataij^^, ^/^l+i P^^ ^^ relation

En utilisant successivement les divers développements S, . .., S,-, la fonction se trouvera définie pour tous les systèmes de points associés situés sur L et V , et en particulier pour le système des deux valeurs extrêmes 6, b' .

On démontrera comme au n° 343 que la valeur trouvée ne dépend que de la loi de variation simultanée de z, z' et nullement du choix des points de division <7,, ..., a/, ..., et des éléments Si, ..., S/, ....

S'il est impossible de passer, comme on l'a supposé, des points initiaux a, a! aux points 6, b' au moyen d'un nombre fini d'éléments S, . . ., S/, . . ., les couples de points associés a, a' des lignes L, U qui pourront être atteints par ce procédé seront séparés des suivants par un couple frontière p, (B'; et nous dirons que ce système de valeurs z =z ^^ z' =: P' est critique.

358. On peut établir, par une analyse identique à celle des n"^ 346 à 349 les propositions suivantes :

Si^ lorsque z et z' se déplacent dUine manière quelconque dans V intérieur de contours fermés G et G', on ne rencontre aucun système de valeurs critiques^ f{z^ z') n^aura quhine valeur en chaque point de ce domaine, et sera synectique.

La fonction analytique f{z, z') déduite d^ un élément S, aux cercles de convergence R, R' admet au moins un système de valeurs critiques dans le domaine constitué par ces cercles {y compris les circonférences frontières).

34o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

La définition d'une fonction inonodrome dans le domaine formé par deux contours C, G' sera la même qu'au n'' 350. On verra aisément que pour ces fonctions un système de valeurs critiques restera toujours tel, quelle que soit la loi suivant laquelle z et z^ se déplacent pour j parvenir.

Enfin une fonction sera uniforme si elle est monodrome dans tout le plan.

3o9. Théorème. — Soit

une série procédant suivant les puissances entières et positives de Zj z\ ....

Posons

^a'nn\..ll''u'"'

et supposons : i^ que les séries ci-dessus admettent chacune un rayon de convergence; 2.^ cjue les termes constants aoo, ..., <^/q„, ..., des séries en u, ;/, ... soient nuls. La fonction S, exprimée au moyen des nouvelles variables «, u' , . . ., sera donnée par une série

admettant un rayon de convergence.

Substituons en effet dans S les valeurs de z, z\ . . ., effectuons les multiplications et groupons les termes affectés des

mêmes puissances de ?/, u\ Nous obtiendrons pour S un

développement de la forme demandée.

Les opérations que nous indiquons seront licites et la série obtenue sera convergente si la série intermédiaire où tous les termes étaient encore séparés est absolument convergente.

La somme des modules des termes de celle-ci est égale à

SÉRIES. 34 f

Il faut prouver que cette quantité restera finie tant que \u\, \u'\, ... ne surpasseront pas une quantité fixe A convenal)lement choisie.

On peut déterminer, par hjpothèse, des quantités M, R. m, r, m', ;*', . . . telles que l'on ait

Posons, pour abréger,

On aura

^cL,u'Ul"^\..\=rv',

-KJ('-k

Cette quantité restera donc finie tant que ç, v' seront < R.

Or on a

[r^WF^"']'

ou, si tous les modules i«|,|^^'|, ... sont < A, et si A^ désigne le nombre des variables u, u' ^ . . .,

V < ni

Cette quantité sera < R, si l'on a

d'où

On trouvera de même pour ). des valeurs au-dessous desquelles chacune des quantités ç' , ... sera << R. En prenant pour \ le plus petit des nombres ainsi trouvés, la convergence sera assurée.

360. Cas particuliers. — Si Ton prend pour S, au lieu d'une série infinie, un des polynômes z -\- z\ z — z' ^ zz' on voit que l'addition, la soustraction ou la multiplication de séries ayant un rayon de convergence donne une série de même nature.

Si l'on prend pour S la série

on voit que l'inverse de la série

est développable suivant les puissances entières et positives de w, u' , . . . , en une série admettant un rayon de convergence, pourvu que le terme constant rtoo--- "e soit pas nul.

361. Théorème. — Soit S(u^ Zi, . . . , z,i) un élément de fonction analyticiue à n + i variables. Si l'équation

a n racines nulles, l'équation

^{ff, -1, ■ • ■ , -«) = o

admettra, si z^.^ . . ., Zn sont infiniment petits, n racines infiniment petites.

Nous renverrons à plus tard la démonstration générale de cette proposition. Pour le moment nous nous bornerons à traiter le cas où /i = i . Dans ce cas particulier, l'énoncé précédent peut être complété comme il suit :

Théorème. — Si l'équation S(//,o)^=o a n racines

nulles, V équation S(w, ^) = o admettra^ pour z infiniment petit, n racines infiniment petites.

Chacune déciles sera représentée, aux environs du point z :=z o, par un développement convergent, de la forme

oit [i., [Al, , . . sont des fractions positives croissantes, telles que le plus petit commun multiple m de leurs dénominateurs soit ^/^.

Dans certains cas particuliers, plusieurs de ces racines pourront être égales et seront représentées par le même développement. D'autre part, il peut arriver que quelques-unes des séries U s'arrêtent après un nombre limité de termes (ou même se réduisent à zéro si S(?^, z) contient u en facteur commun).

Pour établir cette proposition, nous supposerons provisoirement que les racines cherchées existent et admettent chacune un développement de la forme U; nous déterminerons les nombres M, [i., M,, pii , ... par la méthode des coefficients indéterminés, au moyen de l'équation

Nous verrons qu'il existe n développements U satisfaisant à cette condition ; et nous montrerons qu'ils sont convergents aux environs de ^ = o.

362. Ordonnons S suivant les puissances croissantes de u ; en remarquant que quelques-unes des puissances de u peuvent manquer dans cette série, nous pourrons écrire généralement

R désignant l'ensemble des termes qui contiennent u à une puissance supérieure à /^, et cp,, cpo, . . ., cp,^ étant des séries de puissances entières de z.

Ordonnons ces séries suivant les puissances croissantes

de z; en vertu des hypothèses faites sur S, cp,^ commencera par un terme constant A„ ; et si i<in, cp, commencera par un terme A^z^i, oii a^ ]> o.

Mettant ces termes en évidence, on aura

Substituons dans cette expression à la place de u le développement

U — M z¥- -\- Ml ^H'. -h . . . = M z\^ + p.

Le résultat S(«, z) de la substitution sera une série de

puissances entières de z"\ Pour qu'il soit identiquement nul, il faudra que les termes d'un même degré, et en particulier ceux du degré minimum, se détruisent. Il faut donc: i° qu'il y ait plusieurs termes de degré minimum; 2° que la somme de leurs coefficients soit nulle. 1

363. Or il est clair que les termes de degré minimum ne peuvent se trouver que parmi les suivants

Donc la suite des exposants

(3) ai4-3,[j., a2-f-p,[j., ..., /i[x

doit présenter plusieurs termes minima.

Pour déterminer jjl par cette condition, remarquons que les entiers p,, [i^j •• -, fi vont en croissant. Si donc nous faisons varier [ji de o à 00, chacun des nombres de la suite (3) croîtra plus rapidement que les précédents, et finira parles surpasser.

Mais, pour [k infiniment petit, /^[j. sera évidemment le plus petit nombre de la suite. Si l'on fait croître a, il arrivera un moment où nu. deviendra pour la première fois égal à un ou à plusieurs des nombres précédents. Supposons qu'on ait à cet instant

a,- 4- fji [X =:: a,- -h p,-- -x —...=: /î [J. { i < i' < . . . < n).

Si iK conlinue à croître, Texposanta^- -f- p/a, qui, à cet instant, n'est supérieur à aucun des suivants, et croît moins vite qu'eux, deviendra à son tour minimum, jusqu'à ce qu'il atteigne un ou plusieurs des précédents. Soit à cet instant

(4) a^-+[3/,arrra,.+ ?/,.;x=...— a,-+P^,;x ( A" <//<...< /)•

A partir de là, ol/, + ,3a a deviendra à son tour minimum, et ainsi de suite, jusqu'à ce que a< -f- ^i, [j. devienne, et reste définitivement minimum.

Nous obtenons ainsi un certain nombre de valeurs de p., donnant chacune plusieurs exposants minima. Considérons l'une d'elles, par exemple celle qui est définie par les équations (4). Elle sera rationnelle, car on a

cette fraction, réduite à sa plus simple expression : on aura

PA- — \'k — 1' 7j • • • j \h— i^/.- — [(h

et les quantités a, [i sont des entiers. Soit d'ailleurs u

étant des entiers.

361. Les valeurs de M correspondant à cette valeur de ]x s'obtiennent en égalant à zéro la somme des coefficients des termes de degré minimum. On obtient ainsi l'équation

o = ^(M ) = A^MP. + A^.ATP^ -!-- ... H- Kil^i

=: x\l?-i[A/, -h A/,.Mï"/ -r ... 4- A/Mï^/].

Le nombre des racines non nulles de cette équation est égal à ^i — ^k' Si donc on considère toutes les valeurs cidessus trouvées pour |j. avec les valeurs correspondantes de M, on trouve un nombre total de systèmes de valeurs de ([Ji, M) égal à

D'ailleurs l'équation /(/^, ^)= o, admettant ii^^ comme

facteur commun à son premier membre, a '^i racines identiquement nulles. Nous avons donc bien trouvé le premier terme du développement de chacune des autres racines.

On remarquera toutefois que, l'équation ^(M) =: o pouvant présenter des racines multiples, plusieurs des systèmes de valeurs ([x, M) peuvent être égaux.

Soient M une des racines non nulles del'équation (J;(M)=r o, /z, son ordre de multiplicité. Le premier membre de cette équation ne contenant (après suppression du facteur commun MPk) que des puissances de M multiples de q, elle admettra évidemment la racine BM, 9 désignant une quelconque des racines ^i^"^«'^ de l'unité, et avec le même ordre de multiplicité. Le nombre total de ces racines sera donc au moins égal k riiç; d'où l'inégalité

et, a fortiori,

36o. Posons maintenant

f/,, Zi étant de nouvelles variables : il viendra, en posant, pour abréger, a^-h [3/ a := A,

(5) S[{M-ru,)zl^,z]^z'-S„ iS{a„z^)-^z->S,{u„z,),

Si désignant un nouvel élément de fonction analytique qui, pour ^ = o, se réduit à 'i>(M + m, ). Or l'équation

admet la racine Ui = o, avec le degré de multiplicité /?<.

L'équation Sj («,, Zi) = o admettra donc, pour z infiniment petit, fii racines infiniment petites; nous pourrons calculer la valeur principale de chacune d'elles, laquelle sera de la

forme

où u.' est une fraction de la forme — • Si /i2 est le nombre

des racines qui ont cette même valeur principale, on aura et en posant

on aura une relation de la forme

So=o admettant, pour ^ infiniment petit, n.2 racines infiniment petites.

Substituant la valeur ci-dessus de Ui dans l'équation (5), et posant, pour abréger,

il viendra

366. Poursuivant ainsi, on aura, en désignant par i un entier aussi grand qu'on veut,

u., a,, ..., u./, étant une série de fractions de dénomina-

' leurs ^, ^^,, qqt . . .^/,, z-i étant égal à ^'/'/''Z' ', et S/

une série de puissances telle, que pour ^=0, l'équation

S/=: o admette ni racines nulles. Enfin, on aura la suite

d'inégalités

et, a fortiori^

<l'l\ • • . qi-\ < ri.

Les entiers positifs n^ 11^^ n.y, •• • forment une suite non croissante qu'on peut prolonger indéfiniment. Gomme ils ne peuvent s'abaisser au-dessous de i, il arrivera nécessaire-

ment un moment où ils cesseront de décroître; à partir du même instant, les q deviendront égaux à l'unité.

On aura donc, pour toutes les valeurs de i qui surpassent un nombre fini,

ïi — V -; • — z"^

V et m étant des entiers constants, au plus égaux à n\ et [a, [Ao, .. ., uL/, seront des multiples de

367. Deux cas seront à distinguer ici : i" Si V = I , la série

s'annule pour w/r=o,5 = o, mais sa dérivée partielle -v-n'est pas nulle. L'équation

définit donc aux environs de c = o une fonction sjnectique

de ^'" , développable suivant les puissances de cette quantité. Substituant ce développement à la place de ui dans l'expression

on aura un dévelopjjement U qui satisfait à l'équation

2'' Si V >> I , le second membre de l'équation

contiendra un terme de la forme ^^i-i[B?^], ^ étant une constante. Mais, au premier membre, Ui ne figure que multiplié par zV-i-y] on aura donc nécessairement

Cela posé, soit p un entier quelconque «< v. Prenons la p'^*"^ dérivée par rapport à u de l'équation (6); il viendra

Cette équation montre qu'en partant de la série -y— S(«, ::)

on obtiendrait un développement qui coïncide dans ses «pre miers termes M^î^-f-. . .+ Mi, ;!^;-i avec celui déduit de S{u,z). Le nombre i étant quelconque, la coïncidence sera complète.

Ce développement est convergent; car si l'on pose en

particulier p := v — 1 , la fonction ^^ s'annulera pour

^vg.

Ui=o^ -3 = 0, mais non sa dérivée partielle , / » L'équation ^^^^ = o définira donc une fonction iii sjnectique

en z"^ el dont le développement est convergent

Le développement U =r Mg^-H Mi ;H'i + . . . ainsi obtenu , substitué dans les équations

dPS{u,z)

du9

y satisfait identiquement. En effet, le résultat de la substitution de U dans l'un des premiers membres sera une série

convergente procédant suivant les puissances entières et po-

sitives de z"'\ mais cette série contient en facteur commun z avec une puissance au moins égale à

et cela quel que soit i. Or les quantités [x,, [Jio, ... sont

35o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

des multiples de — dont chacim est plus grand que le précédent. Donc iji/i croît indéfiniment avec i. Toutes les puis-

sances de z"\ quel que soit leur degré, disparaîtront donc de la série, qui devra se réduire identiquement à zéro.

368. Soit U un des développements dont l'existence vient d'être établie, et qui satisfont kS{u, z)=z o. Posons

S(U-t-c^,^) sera une série de puissances entières de ^'^ et de p, qui s'annule pour ^ = o et qui, par suite, contient v en facteur. Donc en remettant pour t^ sa valeur u — U, et

remarquant que U est une série de puissances de z"\ il viendra

T désignant une nouvelle série de puissances.

Si V est ^ I , on sait en outre que U doit satisfaire aux équations

du-""' ■■" âu^-'~'''

Or pour w = U, -T- se réduit à T\U, z'"). Donc T, s'annulant pour m = U, pourra être mis sous la forme

Ti désignant une autre série de puissances. On aura donc

S{U,Z) -=:(ll — Vy'Ti\u,Z'"),

L'équation -— ^ = o montre de même que Ti contient u — U en facteur et ainsi de suite : donc S(w, ^) pourra se mettre

sous la forme

(7) S{u,z) = {u-VyT{a,z'^).

Si m>>i, z admel m racines /^ièmes distinctes; z"' désignant l'une d'elles, elles auront pour forme générale

e "^ z"\ où r prend les valeurs o, i, ..., m — ^i. En substituant successivement ces racines dans U, on obtiendra une suite de développements U,, . . ., U^, tous différents les uns des autres. Cela posé, changeons dans l'identité (7)

jL ^JIL L

z'"^ en e "* 5'", Le premier membre restant inaltéré, il viendra

^{u, z) — {u — \},yi:\Li, e "' z"'j.

Donc

(8) {u — U)n^(w, z^) z-{u — \],yT\u, e~^ z^).

Le second membre s'annulant pour z^ = U<, il en est de même du premier; mais U, — U n'est pas nul. Donc

T\w, 5'"/ s'annule pour ?^ = U|, et pourra être mis sous la

forme (« — U< )TÀ«, -'").

Substituons cette valeur de T dans l'identité (8) et, supprimant le facteur u — \]\ commun aux deux membres, on voit que, si V > i , T, s'annulera encore pour u = Ui et pourra être mis sous la forme (u — Ui)To. Continuant ainsi, on voit que S(u, z) peut être mis sous la forme

( u — vy{u — Uiy'0(^^ z^'j.

Par une suite de raisonnements semblables, on voit que S(u, z) peut être mis sous la forme

S{u,z) = {u-vy{u-v,y...{u-i],n-,y^,

<ï> étant une nouvelle série de puissances de u et z'"^. D'ailleurs, en remplaçant^"" par une autre détermination e '"■ z"^

du même radical, S(;^, z) ne change pas, et les facteurs u — U, u — Ui , ... se permutent entre eux. Donc {u — U)...(^/ — ^m-\) d'une part, et 4> d'autre part, ne

contiendront que des puissances de z'"- dont l'ordre est multiple de m; ce seront donc des séries de puissances entières de u et de z.

INous dirons que les développements U, Ui , . . ., Um-\ ? qtii

se déduisent l'un de l'autre en changeant la détermination

du radical z"^^ forment un cycle de racines de l'équation S(//,^)^o. Ces racines se permutent circulairement les unes dans les autres si :; décrit un contour fermé autour de l'origine. Le nombre v sera l'ordre de multiplicité des racines du cycle.

Si n^my, il y aura d'autres racines. Soient U^ l'une d'elles, m', v' les nombres analogues à m, v qui lui correspondent. Un raisonnement tout semblable au précédent montre que <ï> peut se mettre sous la forme

Continuant ainsi, on mettra finalement S(w, z) sous la forme

Siu, z) ^[{u -V). . .{u -U„,^,)f

W désignant une nouvelle série, qui ne s'annule pas pour u ^= o, ^ = o.