Soit u une fonction de z définie par l'équation

Zo u'' 4- Zi u"-^ 4- . . . + Z,, = G,

les Z étant des séries de puissances entières et positives de z convergentes aux environs du point ^ = o. Les n racines de cette équation seront représentées aux environs de ce point par des séries convergentes, procédant chacune suiva'nt les

puissances entières et croissantes de z"\ m étant un entier ^/i. Toutefois, si les i premiers coefficients Z,,, ..., Z/,

contiennent z en facteur, i de ces développements contiendront au début des puissances négatives.

En effet, en posant ;^ — o, on aura, pour déterminer les valeurs correspondantes de w, une équation de degré n — i. Soient a l'une de ses racines, a son ordre de multiplicité. Posons u=za-\- Uk. L'équation transformée en u^ aura, pour zz=o, (/. racines nulles, et d'après l'analyse précédente, pour z infiniment petit, a racines infiniment petites, dont chacune sera développable suivant les puissances positives et

croissantes de z'"-, m étant = a.

Pour développer les i autres racines, qui cessent d'exister

pour ^ ^ o, posons w= ;^? -s^^ étant la plus haute puissance de z qui divise Z^. L'équation transformée

z ->^Zo u'I + zZ, u'[-' 4- z^^^^Z., u'[-'' + . . . = o

aura n racines nulles pour ^ = o, et pour z infiniment

petite racines infiniment petites, développables suivant les

puissances entières et positives de z"\ En les divisant par 5^^+', on aura les valeurs correspondantes de u\ ceux de ces n développements qui commencent par des exposants négatifs donneront les racines cherchées.

370. Tous les raisonnements ci-dessus subsistent si les coefficients Z ne sont plus des séries infinies, mais des polynômes en z. Dans ce cas, u sera une fonction algébrique de :;.

Si d'ailleurs on pose z =^ a-\- z^^ a désignant une constante, ou ^ = — j u sera une fonction algébrique de ^, . Les

racines de l'équation en u seront donc développables suivant les puissances croissantes (en général fractionnaires) de z — <2 ou de - •

37L La théorie précédente est susceptible de nombreuses J. - I. 23

applications. Nous nous bornerons pour le moment à la sui-

vante :

i" Soient

/(^, j) = M/'"4-Mi7"^ -u. . .r=0,

cp (^, j) =r N y' -h Ni J'^ 4- . . . = O

deux équations algébriques. On demande de formel^ Véquation finale en x résultant de V élimination de y entre ces équations.

Soient yi,jKo, . . . , y^,, les valeurs dey en x, déduites de la première équation, -r^, . . . , ^f\n les valeurs déduites de la de. La variable x, devant évidemment être choisie de

secon

telle sorte que Tune des valeurs ji , ja, • • • , Jm soit égale à l'une des valeurs 'r^, . . . , 'fin, satisfera à l'équation

(9) (7i-'^ii)---(7i-'^i«)(/2-'^ii)---(/2—-^/0---(r/'. — ''il )•••(/'« -■^«)=°

Or on a d'une part

et d'autre part

M(ri— Ta) (/2—^i )•••(/'« -^-1)

L'équation (9) pourra donc se mettre sous les deux formes suivantes :

( ■.\mn

Multipliant par N^M" pour chasser les dénominateurs, il

sÉRiiîs. 355

viendra

(10) O = M«cp(^,y0.-.?(^, /..)==(- 0'""N-/K r,0.-./(^,^«)-

On voit, par cette double forme donnée au premier membre de l'équation finale (lo), que son premier membre est une fonction entière, d'une part par rapport aux coefficients N^ Ni, ... de la fonction cp, d'autre part par rapport aux coefficients M, M^, ... de la fonction f. C'est donc une fonction entière de x.

Pour obtenir sous forme explicite le premier membre de cette équation, il suffira de calculer son développement suivant les puissances descendantes de x, par les règles qui ont été exposées. Pour cela, on calculera d'abord les développements des racines jKi, . . . , ym^ puis ceux des fonctions entières M", (f(x,yi)j . . . , 'f (^, J'rn)j et enfin celui de leur produit. Comme d'ailleurs on sait d'avance que ce produit est un polynôme entier en x, on arrêtera le développement aux termes de degré zéro.

Ce procédé de formation de l'équation finale serait assez compliqué, mais il permet de reconnaître facilement son degré. Il suffira pour cela de calculer le premier terme de l'équation.

On peut reconnaître, par un procédé analogue, si l'équation finale a une racine nulle, et assigner son degré de multiplicité. Il faudra pour cela chercher le premier terme du développement de son premier membre suivant les puissances croissantes de x.