VI. — Applications

372. Nouveaux développements des fonctions trigoko- MÉTRiQUES. — Nous avous trouvé (243), m désignant un entier impair, la formule

Cherchons quelle est la limite de cette expression, lorsque m croît indéfiniment.

Le premier facteur m sin— tend évidemment vers r^z.

sin^ —

Soit I un des autres facteurs; nous suppose-

sin-^— m

rons d'abord /?</i', k étant un entier arbitraire que nous

fixerons ultérieurement.

Les quantités sin-— et sin- f-^ sont des infiniment petits ^ m m ^

dont les valeurs prmcipales sont — r- et - — -; leur rapport

tend donc vers —^^ Le produit des k -\- i premiers facteurs du second membre tendra donc vers

Nous allons voir que, en prenant k assez grand, le produit

/' des facteurs suivants différera de l'unité aussi peu qu'on

voudra.

Considérons, en effet, un de ces facteurs, où p soit > A",

m — I T . , . ^'Tzz , 1

sans pouvoir surpasser — • La quantité sin- — sera de la

forme — j (i + s), s étant infiniment petit. D'autre part, on a, par la formule de Maclaurin,

, , „ cos6 - —

sini^ = ^-(/^) ^,

0 étant compris entre o et i . D'ailleurs, — est compris entre

O et -• Donc

o 7cos0 - — ~ i;

d'où

Ap étant compris entre 1 et i y

On aura, par suite,

Bp ajant son module compris entre des limites fixes (en supposant que z soit fixe, ou tout au moins renfermé dans un domaine borné).

Or on a vu qu'un produit infini, dont le facteur général est de la forme ci-dessus, est absolument convergent (324). Donc le produit d'un nombre quelconque de facteurs consécutifs

sera aussi voisin qu'on voudra de l'unité, si A" est assez grand. On aura donc

I sinTT^ zi^Tzzi I — — j , . . ( I — ^ J K,

K tendant vers 1 à mesure que A' augmente. En le faisant tendre vers oo, on aura à la limite

^ (I) sinTT.-^TT.-JJ