OO

a Tt TTT 4 '^^ — I T~r ( ^ /^ — I ) ( 2 /î -f- 0

lî 2 ~^ J- X ù^iir X X xii.i n

formule découverte par Wallis.

375. Pour obtenir l'expression de cost::: par un produit infini, le plus simple est de partir de la formule

- \ ni

—. -if- -

Supprimant les facteurs communs, qui correspondent aux valeurs paires données à n dans le numérateur, il vient

A chaque valeur négative nJ de l'indice de sommation correspond une autre valeur n^ positive ou nulle, telle que l'on ait

Faisant le produit des deux facteurs associés correspondant à ces deux valeurs n et /?', il vient

COSTI

[in + iy

376. Prenons la dérivée logarithmique de la formule (2); il viendra

TT colr.z =--!-> ( ) >

la somme s'étendant à toutes les valeurs entières de /z, zéro excepté.

Développons chaque terme suivant les puissances croissantes de ^, il viendra

Mais on a, d'autre part,

I 2Tziz e^'^--|- I

B<, B2, . . . désignant les nombres bernouUiens (269).

Egalant les coefficients des mêmes puissances de z dans ces développements, il viendra