L'étude des variations de l'intégrale
où ç est une fonction de x^ des variables dépendantes y^y >'2, ... et de leurs dérivées successives, ces variables pouvant d'ailleurs être liées entre elles par un système d'équations différentielles
4/,zz:0, 4^2:== O,
se ramène immédiatement au cas où y, tj^<, ... ne contiennent, avec les fonctions inconnues, que leurs dérivées premières.
Supposons, en effet; que^i, par exemple, figure dans ces expressions avec ses dérivées successives jusqu'à l'ordre n. Nous pourrons introduire comme inconnues auxiliaires les dérivées ^^, ...,j^"~*, pourvu qu'on joigne au système des équations <|;< = o, ^2 = o? • • • celles-ci :
y\ étant d'ailleurs la dérivée première de y\~\ on voit que la fonction ^ et les équations de condition ne contiendront plus que les fonctions inconnues et leurs dérivées premières. Supposons donc que nous ayons m fonctions inconnues j/-i, ..., jK„, ; que ces fonctions, leurs dérivées premières et la variable indépendante x figurent seules dans l'intégrale
dx
et dans les équations de condition
<Pi = o, ..., 4'p=o.
Désignons par p le nombre de ces dernières équations. Admettons enfin, pour plus de simplicité, que les limites x^j Xi de l'intégrale et les valeurs correspondantes des fonctions y soient des quantités fixes données. Cela posé, cherchons à rendre Tintégrale maximum ou minimum.
374. Nous déterminerons les fonctions inconnues, cona.mc on l'a vu plus haut, en annulant la variation première de l'intégrale
ce qui fournit les équations différentielles suivantes
dF d âF
ôyt dx dfi
que nous combinerons avec les équations de condition
âF
(2) — =^fZ=0 (/=il, 2, ...,/?).
L'intégration de ce système donnera en général les inconnues y et X en fonction de a; et de a/n constantes arbitraires.
En effet, remplaçons les équations ^i==:o par leurs dérivées -j~ = o. Le nouveau système obtenu
,,, ôF d dF d'bf
contient les dérivées de jj'j, . . ., y m jusqu'au second ordre, celles de X|, ..., Xy, jusqu'au premier ordre. Il sera donc d'ordre im-^ p et fournira les inconnues y et X en fonction de X et de im'\-p constantes arbitraires. Ces valeurs, substituées dans les expressions <{;/, les réduiront à des constantes (puisqu'elles annulent identiquement -j^ ) • En écrivant que ces constantes sont nulles, on obtiendra des équa-
CALCUL DES TARIATIOKS. 5oi
tîoDS de condition qui déterminent p constantes d'intégration en fonction des autres.
Les 2 m constantes qui restent seront déterminées à leur tour par la condition que jKn • • • > ym prennent pour chacune des deux limites Xç^ et x^ les valeurs qui leur sont assignées.
Le problème d'annuler la variation première de l'intégrale est donc en général possible et déterminé.
On doit toutefois remarquer que l'ordre du système (3), et, par suite, celui du système primitif, s'abaisseraient si l'on pouvait éliminer les dérivées y\^ . . ., y^^ X^ , . . ., X^ entre les équations (3). Or, ces dérivées y entrent linéairement, et le déterminant de leurs coefficients n'est autre chose que le
jacobien J des fonctions -r-r? i^i par rapport aux quantités j/
et \. Si donc ce jacobien était identiquement nul, il serait en général impossible d'annuler la variation première de l'intégrale ^ car les constantes d'intégration seraient en moindre nombre que les équations aux limites auxquelles elles doivent satisfaire.
375. Nous admettrons donc que J n'est pas nul. Il est aisé, dans ce cas, de ramener le système (i), (2) à un système canonique. (Ce résultat est une généralisation de celui du n« 337. )
Prenons, en effet, pour variables auxiliaires les quantités
Les équations
(ÎF
permettront d'exprimer les quantités ^, \ en fonction des variables^, p.
Posons, d'autre part,
On aura
dH ^y^^ y- ^ dfi + (pi^ ^ j dy, + y dpi - ^idki^ .
Mais les termes en dy\^ dXi disparaissent en vertu des équations (4). On aura donc, en supposant qu'on exprime H au moyen des variables j^ et/?,
D'ailleurs, les équations (i) peuvent s'écrire
àfi
On aura donc, pour déterminer les variables y, /?, les équations canoniques
376. Ces équations étant supposées intégrées, on sait (260) que leur intégrale générale pourra se mettre sous la forme
(6) dri"^^'' di/~^' («r:^i,2, ...,/n),
V étant une fonction des variables x, yi et de m constantes d'intégration ai, . . ., a^ et les quantités j3<, . . ., pm étant les autres constantes d'intégration.
La résolution des équations précédentes donnera les valeurs des y^ p en fonction de x et des constantes a, p. Les équations (4) donneront ensuite les quantités jk', X; enfin les conditions aux limites détermineront les valeurs des constantes a, j3.
377. Mais, pour être assuré de l'existence effective d'un maximum ou d'un minimum, il est nécessaire d'étudier la variation seconde S^L Si celle-ci ne peut s'annuler pour aucun système de valeurs admissible des variations 8^, elle con-
CALCUL DBS VARIATIONS. 5o3
servera toujours le même signe, et il y aura minimum ou maximum, suivant qu'elle sera positive ou négative. Si, au contraire, elle peut s'annuler, il n'y aura en général ni maximum, ni minimum, la variation troisième changeant de signe avec les variations Sj^; il ne pourrait y avoir incertitude que dans le cas exceptionnel où elle s'annulerait en même temps que la variation seconde.
Laissant de côté ce cas singulier, nous sommes amenés à rechercher si 8^1 est ou non susceptible de s'annuler.
