Posons, pour abréger

Les quantités a/A, 6/a> c/a, rf//, eu seront des fonctions connues de x; nous les supposerons continues, ainsi que leurs dérivées partielles, entre ûOq et Xt ; cette hypothèse est évidemment nécessaire pour qu'on puisse appliquer la série de Taylor au développement des accroissements des fonctions F, '^i.

Posons encore, pour simplifier l'écriture,

ces quaptités seront assujetties aux relations (7) o = 8'W--N {diiSi-i-Ciiz'i) {/ — I, ...,/?).

On aura, d'autre part.

8»I z=z jPFdx = j [a=F -t-V 2 {x/ ^^}j dxy

5o4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

les multiplicateurs [X/ étant des fonctions quelconques de x^ finies entre x^ et a:< .

L'expression

2Û::3:8»F-f-V 2 |JL/ S^j//

étant homogène et du second degré par rapport aux quantités z^ z\ p., on aura

dit du ,\ \} dQ

Substituant cette valeur dans l'expression de 8^1 et remar^ quant que les équations de condition (7) ne sont autres que les suivantes

il viendra

Intégrant par parties les seconds termes et remarquant que Zi s'annule aux deux limites Xq et Xi, il viendra

J- Zui\à^i dx ds'ij '

On pourra donc annuler o^I si l'on peut déterminer les quantités ;:, [jl, de manière à satisfaire aux équations

^^^ dzi dxâz'i"^'

ainsi qu'aux équations de condition (8), en assignant aux Zi

CALCUL DBS VARIATIONS. 5o5

des valeurs qui ne soient pas constamment nulles entre Xq ot Xi, mais qui s'annulent aux. deux limites.

379. Les relations (8) et (9) constituent un système d'équations différentielles entre les variables z, [Ji tout à fait analogue au système (i), (a). Il sera également d'ordre 2 /n, pourvu que le jacobien 3^ des expressions

dz'i d[t.i

par rapport aux quantités zj-, |jl/ ne soit pas identiquement nul. Or, d'après l'expression de û, on voit que les éléments de ce déterminant ne sont autre chose que ceux de J, où l'on a substitué, pour les quantités y, leurs valeurs en fonction de X, Nous admettrons que, même après cette substitution, le déterminant ne s'annule pas identiquement et que, en particulier, il n'est pas nul pour x = x^.

Prenons alors pour inconnues auxiliaires les quantités

(10) ll.zz.--.

Les équations (8) et (10) permettront d'exprimer les quantités z' et |jL en fonction linéaire des quantités z et 14. Ces valeurs, substituées dans l'expression

Hi r=^^M,^;— û,

la transformeront en une fonction homogène et du second degré des quantités z, u ; et l'on aura, pour déterminer ces quantités, les équations canoniques

(11) Zi—-~-, ur——'.~^

ÔUi OZi

dont les seconds membres sont linéaires et homogènes par rapport aux inconnues z^ u.

5o6 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE lY.

380. Les équations difTérenli elles linéaires (12) O"-^ =2j[diiZt -hetiZi],

(i3) O"- —, — Ui — \ [bfiiZi,'^Ckiz'f^]-h\ eu^i— Ui,

(.4) o ^ ^,- - ^ ^^ -^2^[a,,z,+ b<,z', + rf„(i,] - «;-,

auxquelles nous venons d'arriver, sont intimement liées aux équations

dF dF

dont rintégration nous a fourni les valeurs des quantités y, X en fonction de x et des constantes ai , , . ., cLm\ ^i ^ • • • , ^m> En eflet, substituons ces valeurs dans ces dernières équations ; elles se réduiront à des identités, quelles que soient les constantes a et ^. On pourra donc les difTérentier par rapport à Tune quelconque c de ces constantes. Effectuant cette différentiation et posant

àyt ^ à/i , dpi dh __

"5F - ^" de - "'' 1^ - ""'' -â^ " ^'»

on obtiendra précisément les équations (12), (i3), (i4)-

Prenant successivement pour c chacune des 2 m constantes a, ^f nous aurons donc 2 m solutions particulières de ces équations. On en déduit, en désignant par Aj^ et B^ des constantes arbitraires, la solution plus générale

CALCUL DES VARIATIONS. 5oj

Les équations (i i), qui se déduisent de la combinaison des équations (12) à (i 4)) admettront donc comme solution les valeurs de Zi, ui données par les formules (i5) et (16).

381. Nous admettrons : 1° que les diverses dérivées partielles -^> -^Q^) "j -^y qui iSgurent dans les expressions

précédentes, restent continues entre Xq et x^ ; 2® que les seconds membres des équations (i5) ne peuvent devenir à la fois identiquement nuls, de quelque manière qu'on choisisse les constantes A, B, à moins qu'elles ne soient toutes nulles

Cette dernière hypothèse entraîne manifestement comme conséquence que les 2/n solutions particulières obtenues pour les équations (11) sont linéairement indépendantes. La solution générale des équations (i i) sera donc donnée par les formules (i5) et (16), et celle des équations (12), (i3), (i4) par les formules (i5) à (18).

Nos 2 m solutions particulières étant indépendantes, le déterminant

dyx dyx ^Y^ dy,

doL^

ày,n àpi

àpm

daj

àym

àY„

dpx

dpi

àPm

àpm

ÈEi

doi

ne pourra être identiquement nul.

Ce déterminant peut d'ailleurs se mettre sous la forme d'un produit de deux autres déterminants. En effet, les équations intégrales

(où V ne contient ni les p ni les P), difFérentiées par rap-

5o8 TROISIÈUE PARTIE. — CHAPITRE IV.

port aux constantes a^t 6t ^a? donnent

dpi

d'W dvh

Substituant ces valeurs dans D et retranchant des m dernières lignes du déterminant les m premières, multipliées par des facteurs convenables, il viendra

dy,

ày^

dr,

ay,

Oy-m

àh

àym

àyi ô:tfn

àym à?,

àym

en posant

àvi dfx

ày

(Y' Y Ovx à^x

d'Y àym à%i

àyi d:t„

àym àT.,^

Aucun des deux déterminants D{, D^ ne peut donc être identiquement nul.

382. Nous sommes maintenant en mesure de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que 8*1 ne puisse s^annuler.

On voit tout d'abord que 8^1 sera susceptible de s'annuler si Ton peut déterminer les rapports des constantes Â^^, Bj^, de telle sorte que les valeurs des zi fournies par les équations (i5)

CALCUL DKS VARIATIONS. 509

s'annulent toutes à la fois pour deux valeurs distinctes Ç09 ii de la variable x^ comprises entre Xq et x^ .

Les variations ainsi définies ne sont pas identiquement nulles dans tout l'intervalle entre Xo et Xt ; elles satisfont aux équations de condition (12); enfin entre Ço et ii, seule partie de l'intervalle où elles ne soient pas nulles, elles satisfont aux équations (i3) et (14)9 équivalentes aux équations (9); elles annulent donc tous les éléments de l'intégrale S^I.

Pour que les rapports des constantes Â^, B^ puissent être déterminés comme il est indiqué ci-dessus, il faut et il suffit que le déterminant

(àyA

(àym\ (dy,n\

soit égal à zéro.

Donc, pour que 8^1 ne puisse s'annuler, il faut tout d'abord qu'on ait

de quelque manière qu'on choisisse ^o et ^i entre Xq et Xi . Posant en particulier ^Q = XQy on devra avoir

pour toute valeur de :r >• ^c ei^x^,