Pour déterminer les autres conditions qui, jointes

5lO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

à (19)9 sont nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum, il nous faut transformer l'expression de S^I de manière à faciliter la discussion de son signe. Cette transformation repose sur deux propriétés de nos équations diATérentielles, que nous allons établir :

i^ Les équations différentielles qui déterminent les quantités^, p ont pour intégrale générale les équations

Prenons la différentielle totale des équations de droite en traitant a: comme une constante; il viendra

Substituons cette valeur de d^^i dans l'expression de la différentielle totale de dy^

elle deviendra

"^-KÊ*- 1*)

et, comme les équations (20) n'établissent entre les y et les a aucune relation indépendante des quantités p et ^, les coefficients de chaque différentielle devront être égaux dans les deux membres. On aura donc, en particulier, en égalant à zéro le coefficient de rfa/ (après avoir permuté dans la somme double les indices de sommation h et i),

Substituons la valeur de -~-^ tirée de cette formule dans

OOLi

l'expression

CALCUL DUS YARIATIONS. 5ll

elle deviendra

et ne changera pas si l'on permute A: et A:'; car cela revient évidemment à permuter les deux indices de sommation i et h. Nous obtenons donc cette première relation

384. 2° Les quantités y, p satisfont (375) aux équations canoniques

Prenons la dérivée de ces équations par rapport à l'une

quelconque c des constantes a, ^. Il viendra, en désignant,

i , dYi dpi

pour abréger, -^ par zi, -^ par «/,

Ces équations linéaires, admettant les a/n solutions particulières

àyi ôpi

auront pour intégrale générale les expressions (i5) et (i6), de sorte que le système (22) ne sera qu'une autre forme du système (11).

Le système (22) a pour adjoint le suivant :

k\àpkàyi ' ôyidyjt

^k ï ï — iJk } '

âpi dpk Oy,, dpi

5ia TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

qui n*en difiere que par le changement de Zj u en — U, Z.

Si donc

Si ^^ ( . . . j -S/i , . . . ^ Uii , . . . ) >

sont deux solutions particulières quelconques des équations (22),

sera une solution du système adjoint; et, diaprés les propriétés connues de ce système (US), l'expression

(SiSj)=\ (wii^rt— */iW/j)

sera une constante.

38o. On a évidemment, d'après la définition précédente du symbole (Si Sj), la relation

(s.s,).=z-(s,so,

(SjS,) — o.

En outre, si

Oj ~- ( . . . , 5|'j, • . • ) W/i» • • • jr v^jm ( . . . , Zf^y • • . > W/j, . . .),

sont des solutions parliculières, l'expression

/Wj Sj -h m, S3 H- . . .

= (. . ., m,5rt-f-m35„-h. . ., . . ., mjMrt-+- mji//,-h. . ., )

sera encore une solution, et Ton aura

(Si, /n,S,-4- /?i,Ss4-. . . ) = rntiSi S,) -h ^3(8, S,) -h