Toutes les solutions de nos équations s'expriment
CALCUL DES YARUTIOKS. 5l3
liiicaîrement en fonction des 2m solutions particulières
dpi
ôyi
àyt
àpi dp!
/ dyi âpi \
Proposons-nous de déterminer les valeurs des constantes particulières
(S;^S/.), (T,.Sa), (Tj,T^).
U faudra, pour cela, chercher la valeur de l'expression
àpj. dyj d}2 àpj de de' de de'
c et c' désignant deux quelconques des constantes a, p. A cet effet, recourons encore aux équations intégrales
dy] ^^'^
dW doLi
En dérivant les premières par rapport à c, il viendra
d'Y Y ^^^ i^t — iPj.
dyi de ^kdytdyu de ~ Oc
On aura, par suite,
Zdtdc d& Zuidd dyidc^ ZdiZukdyidyk de de'
La somme double ne change pas si Ton permute c et c\ car cela équivaut à permuter les indices de sommation /
J. — Cours, III. 33
5l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE ÏV.
et Ar. On aura donc ^j£\dc de' de de' J ^i\de' dytdc de dyidc'J
On a d'ailleurs
dyt d^\ . d^ày__ d'Y I de' dyi de de' de de de' '
en désignant par -z-, -v— la dérivée complète de ^ par rapport à c', en tenant compte de ce que lesj^ sont des fonctions des constantes c. On a de même
dyi d'Y d dY d^Y
li de dyi de' de de' de de' et, par suite,
dpi dvi dyi dpi\ d dY d dY
de de de'
\ (dpi dyi^àyj. dpA ^ Zdi\àe de' de de' ) "de'
Gela posé, V ne contenant pas explicitement les constantes p, on aura, si c = P* et c' = ^a,
dV d\ -de-°' de" °'
d'où
(T*Ta) o.
Si c — a* et e* ;
- a^, on aura, en vertu
de da* P*'
d'où
d d\ d de' de rfa^P* **•
On a de même
d dV de de' ~ °
et, par suite,
(S*Sa)=o.
CALGDL DES TABIATIONS. 5l5
EnGn, si c = ^^et d = a^, on aura
d'où
de de' de" de ~ t^p*^* "~ i si h = k.
Nous trouvons donc
(S*SA)t--o, (T*Ta)=o,
387. Considérons maintenant deux solutions quelconques On aura, d'après les formules précédentes,
/!> R N.V V r A*pAA^(S;tSy,)+A;tpBA^(S;tTA)l
Assignons aux coefficients A^p, By^p ; Aa^, B^^ les valeurs particulières
OÙ \ désigne une constante quelconque ; il viendra
(-. <«-«.> =I[m(ë)ra^X (!;'),]=-
car le second membre de cette expression, se déduisant de celui de Téquation (21) quand on y change i, A*, k' en k^ 0-, p
5l6 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE IV.
et qu'on attribue à a; la valeur particulière Ç, est identiquement nu). t
En posant successivement p = i, 2, . . ., m, nous obtiendrons un système de m solutions
Rj :rr ( . . . , Zi^ , . . . , M/t , • • • ) >
ï\,ji ---(..., Ziffuj • • • > ^imt • • • j>
tel que Ton ait généralement
(RpR^) — o.
388. Calculons, d'autre part, la valeur du déterminant G, formé avec les quantités
(24) 5/p ^2iiAàh)l ^k ^luk\à4)l Wk'
Pour l'obtenir, formons le produit du déterminant
dy
par le déterminant
àys
dctm
(àrA
dy
dy
dp
(àyA
art ây.
dy
ddi
dyjn d»!
da
dv d«
tn
n viendra, en tenant compte des équations (ai) et (24)1
DiA(^,Ç) =
^ml
■ tt ■
àym dyA
(àym\ (dy„\
mm
et, comme D| n'est pas nul, on en déduira
G=zA(a7.Ç).
Nous admettrons provisoirement qu'on ait pu déterminer la constante Ç, de telle sorte que Ton ait
dans tout l'intervalle de oto à o^i.
Les quantités Z|p, . . ., Zmp] Utp, . . ., Umpy associées aux valeurs correspondantes |ji|p, .,., [x^p des quantités p., fourniront pour chacune des valeurs p = i, . . . , /n un système de solutions des équations (12) à (i4)*
