AV

I/intégration directe donne

F{x) -i- F(/) = const.,

F désignant Pintégrale elliptique de première espèce.

Mais d'autre part, cette équation étant un cas particulier de l'équation d'Euler, admet une intégrale générale algébrique (t. II, n®» 498-501). Voici un nouveau procédé pour l'obtenir, indiqué par M. Darboux.

Posons

t étant une variable auxiliaire. On en déduira successivement

44 TROISlfeUB PARTIE. — GUÀPITRB I.

et, en dérivant par rapport à /,

dt^

zzznk'X^ — (l -4-^*)d?,

^i^=3ArV-(H-A:«)j,

puis

"^ ~dF'^^ 'd? __ 2k*a^y

(i'j: d^y ,. ( dx dy\

dx dy I — k^x^y^

et, en intégrant,

dx dy

-rTF^iTT-- const.,

et enfin

^ — ^ ,T , >^^ = const.

On aura donc

Posons

cette équation se réduira à

F(x) = ff{x).

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES OBDINAIRES. 4^

On aura donc

F(„^Kw=p[^'.'l';;;."''].

Posons

x^=sn«,y 1= snc, d'où ^x^=cnudnUy ^y -— cru^dnv. Nous retomberons sur la formule connue

sn a en f' dn (^ -h sn ç' en w dn //

m. — Systèmes d'équations simultanées.

41. Tout sjstème d^équations difiVrentielles simultanées, entre n 4- i variables Xo, . . . , x„j peut être ramené, comme on l'a vu, au type normal

X|, . . . , X/i étant des fonctions de Xqj . . . , X/i. Ces équations étant mises sous la forme

clierchons à en déduire une combinaison

\ l^k^k — Oy

dont le premier membre soit une différentielle exacte d^. LMdentité

donnera

'**=êi (*=•'•••'«).

Éliminant les |jl, on aura, pour déterminer o, Téquation aux dérivées parliclles

42. L'intégration de Téquation (2) et celle da système (i) sont deux problèmes équivalents.

En eOet, si; par un procédé quelconque, on est parvenu à obtenir une solution générale du système (i) (*), représentée par n équations

entre j?oi • • • 9 ^n et /i constantes arbitraires C| , . . . , Ca, on en déduira aisément toutes les solutions (ou intégrales) de Téquation (a). Résolvons, en effet, les équations (3) par rapport k c^, . . . , c^ ; elles prendront la forme

(4) ?l = ^l» •••> ^n'^Cn-

D'ailleurs, les premiers membres f 1 , . . . , f 1, de ces équations seront des fonctions distinctes de ^o; •• •> ^n, c'est-à-dire qu'elles ne seront liées par aucune relation ; car, si une semblable relation existait, les équations (4) ou les équations équivalentes (3) seraient incompatibles, sauf pour les systèmes de valeurs des c qui satisfont à cette même relation, et, pour ces systèmes de valeurs, elles cesseraient d'être distinctes.

Cela posé, les équations (4) donnent, par différentiation,

fl^fl = o, . . . , dr^n = o.

Ce système devant être équivalent au système (i), on aura des équations de la forme

^?i=^^|AiFx..

Donc (^1, . . ., «Pa seront des intégrales de l'équation (2).

Soit maintenant y une autre fonction quelconque de Xoy . • • , X/i, qui soit distincte des précédentes. Si nous transformons l'équation (2), en prenant pour variables indépen-

(*) On verra dans la Section V qu'il existe toujours de semblables solutions.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIBLLBS ORDINAIBES. 4?

dantes^, f i, . . . , f;,, elle prendra la forme

M03Î 4-M,-T^ -h...-HM„-5-^ =0.

ày d^i o^n

Mais elle admet pour intégrales fi , . . . , cp;, ; donc

L'équation se réduira donc à -r^ = o. Donc, pour qu'une

fonction cp = F(^, ...^^j^ satisfasse à cette équation, il est nécessaire et suffisant qu'elle ne contienne pas y. La forme générale des intégrales cherchées sera donc

OÙ F est une fonction arbitraire.

Réciproquement, supposons que nous ayons déterminé n intégrales distinctes fi, • . . , f» de l'équation (2); on aura

ûTcpf^y lA^F* (t = i,a, ...,/i),

(jlJ, . . ., [x^ étant des fonctions de x^^ . . ., x,i^ dont le déterminant n'est pas nul, car il ne doit exister aucune relation linéaire entre e/^i, . . ., d^n* Le système (i) sera donc équivalent ( * ) au système

dont on obtient immédiatement la solution générale

43. Nous appellerons, d'après Jacobi, multiplicateur le déterminant (x des coeiBcients

(') Sauf pour les systèmes de valeurs des variables qui rendraient infiois les coefficients (i ou qui annuleraient leur déterminant. Ces systèmes devront être considérés à part.

TROISIÈHB PARTIE. — CHAPITRE I.

Si Ton remplaçait le système des intégrales f i , . . . , f n par un autre système d'intégrales distinctes ^i(f i, • • • , <fn)^ • • - > ^/,(fi, • . . , f/i), on obtiendrait évidemment un nouveau multiplicateur [xj, J désignant le jacobien de ({/|, . . ., ^^ par rapport à f i , . . . , <fn»

Ce jacobien est une fonction de fi, ...,f;,, qui peut d'ailleurs être arbitraire. En effet, F désignant une fonction arbitraire de cpf, . . . , fm que nous supposerons contenir cpi par exemple, il suffira de poser

i};, — I Frfcpi, 4/, =«p„ ..., ^n = ^n

pour avoir J =^ F.

44. Soit ^ Tun des nombres i , . . . , n. Désignons par Dp ce que devient le déterminant

jA==

dx^

d?i dxn

àx^

lorsqu'on y remplace les éléments -r-^ (/' les éléments -^^ • Comme on a

=:£= I, 2, . . ., /i) par

dxi

ÔXa

Aa-t 3

ÔXk

il viendra évidemment, en supprimant les termes qui se détruisent,

On en déduit

àx^ 2^u àxu "~ àXi^ Zâ

dXi

Or le second membre de cette égalité est nul; car, en ellectaant les calculs, on voit immédiatement que c'est une

fonction linéaire des dérivées secondes 3 — ^— j ••• > et que

Tune quelconque de ces dérivées a pour coefficient la somme de deux déterminants qui ne difTèrent que par réchange de deux colonnes, et qui, par suite, se détruisent.

Le multiplicateur [x satisfait donc à Téquation aux dérivées partielles

Réciproquement, toute solution p.' de cette équation est an multiplicateur. Posons, en effet, [x'= [xv. L'équation deviendra, par la substitution de cette valeur de |jl\

~ \dx^ Zdk àxk ) \dx^ ^k àx/çj

\dx^ 2uk ''àxjtj'

Donc V est une intégrale, et [x'= |xv un multiplicateur.

4o. Supposons que nous ayons réussi à déterminer seulement i intégrales distinctes fi, ..., cp/ de Téquation (2), I étant <; n. Soient ^0? • • •> JKii-i des fonctions de j:«, . . . , x„, qui, jointes à celles là, forment un système de /i -+- 1 fonctions distinctes. Si nous prenons les f et les y pour variables indépendantes, les équations F;^ prendront la forme

F,=^Midfa-^^ N^% = o

(a nzo, . . ., /l— /; Pi= I, 2, . . ., /).

En les résolvant par rapport à dyt, .... ^f 4, . . . , on ob*

J. — Cours III. 4

5o TROISibMB PÀRTIJS. — CHAPITRE I.

tiendra un nouveau système équivalent

G, =a',F, +... + <?„ =d<fi = o, ^ G,^,= af •?, + ... -h a|^«F„ = rf7, -Y^dy, =o,

Les { premières équations de ce nouveau système donnent immédiatement

<p, izi const., ..., <pi-=consl.

Il ne restera donc plus qu'à intégrer le système d'ordre /* — i formé des équations

où fi, ..., <p^ doivent être considérés comme des constantes.

Les multiplicateurs [x' du système (6) s'obtiennent évidemment en divisant ceux du système (i) par le déterminant A des coefficients a.

D'ailleurs l'équation aux dérivées partielles qui les caractérise, se réduisant à

montre qu'ils sont des multiplicateurs du système (7). Si donc on connaît un multiplicateur |x du système primitif, on

en déduira un multiplicateur ^ du système réduit (7).

Il résulte de là que, si l'on connaît n — i intégrales et un multiplicateur du système (i), la fin de l'intégration s'obtiendra par de simples quadratures ; car la question se ramène à intégrer une seule équation du premier ordre, dont on connaît un multiplicateur.

tQUATIONg DIPFÉKBNTIBLLBS ORDIIfÀlRBS. 5l

46. On a souvent à étudier des systèmes d'équations difFé* rentielles dont on peut déterminer facilement un multiplicateur. Le cas le plus simple et le plus important en même temps est celui des systèmes d'ordre a/i et de la forme suivante

(8) dxi=-^dt, dpiz=^^dt (t = i, a, ...,«),

où if désigne une fonction connue des 2 n variables X| , . . . ,

^n^ Pii • • • î Pif

Ces systèmes sont connus sous le nom de systèmes canoniques. Ils se rencontrent dans les plus importantes questions de la Mécanique.

D'après la théorie précédente, leurs intégrales ^ et leurs multiplicateurs [x seront déterminés par les équations aux dérivées partielles

àt Zà\ \àxi dpt dpt dxi) ~

et

àv-

àpi

11 est clair qu'on satisfera à cette dernière équation en posant simplement [x = i .

Parmi les intégrales, nous distinguerons de préférence celles qui sont indépendantes de t\ elles seront données par Téquation

^^^ Lx\dxtdpi dpidxj-'''

laquelle admet 2/1 — i solutions distinctes^ en fonction des* quelles toutes les autres peuvent s'exprimer.

Si l'on a déterminé 2/1 — 2 de ces solutions, cpi , . . . , f 2/1-2» on pourra achever l'intégration par de simples quadratures. En effet, soient^, j^i deux fonctions quelconques des oti, .... J^ny Pi 7 • • «1 Pat distinctes de cp,, . . . , ç2/i-2' Prenons pour variables indépendantes les f et les ^ à la place des x et desp.

5^ TROISlftMB PARTIS. — CHAPITRE I.

Il nous restera à intégrer un système de deux équations, de la forme

dt =Yidy,

et dont nous connaîtrons un multiplicateur. Ce multiplicateur [x' satisfera à Téquation

df dfx àt

Mais tous les éléments qui entrent dans le calcul de |x', Y|, Y2 sont indépendants de t\ donc Péquation précédente se réduira à

et p' sera un multiplicateur de Péquation

On pourra donc intégrer cette équation par quadrature, et obtenir ainsi yt en fonction de y. Substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura t par une dernière quadrature.