L'expression

1 \^^/ dpi dpi dxil

qui forme le premier membre de Téquation (9), se représente ordinairement par (d, ^ ). De la définition de ce symbole résultent plusieurs propriétés importantes, parmi lesquelles nous signalerons les suivantes :

(10) (c, «p)t=:o (c étant une constante),

(11) (4;, <p)z=o (si cp et 4^ sont indépendants des /?),

(12) ((p, ^)=:-.(ip,<p),

li3) (ç, <p) = o,

ÉQUATIOICS DlFFÉtBNTULLBS ORDINAIRES. 53

Les formules (lo) à (i4) résultent immédiatement de la définition du symbole (({^, f ). Pour vérifier la relation (i5), on remarquera que son premier membre développé est formé de termes dont chacun est le produit d*une dérivée du second ordre de Tune des fonctions fi, f2) ^ f^ <les dérivées du premier ordre de chacune des deux autres fonctions .

Considérons, par exemple, les termes qui contiennent les dérivées du second ordre de <]/; ils seront de Tune des formes

dxidpk dpi dxk dxidpk àxi^ dpt

<?*<|/ ^<Pt d^t (?'<^ d<pt djt dXi dxiç dpt dpk dpi dpk àxt dxk

et proviendront exclusivement des deux derniers termes de Téquation (i5).

On vérifie, d'ailleurs, aisément que chaque terme de Tune des formes ci-dessus provenant du second terme de l'équation est détruit par un terme correspondant provenant du troisième.

48. De la proposition que nous venons d'établir découle celte conséquence importante, connue sous le nom de théorème de Poisson :

Soient Çi , 02 deux intégrales quelconques de V équation aux dérivées partielles

(où ij est une fonction donnée); l'expression (<pi, cp2) sera une nouvelle intégrale.

En effet, des identités

que Ton suppose satisfaites, on déduit immédiatement

((4'»Ti),?i) = (o,?p,) = o,

((?«> *), ?t) =— ((+, Ti), ^1) = - (o, ç, ) = o

54 TROISlftHB PARTIS. — GHAnTBI k

et, par suite,

Supposons donc que Ton connaisse un certain nombre d'intégrales distinctes ç,, . . ., (ff^ de l'équation proposée, on en déduira de nouvelles intégrales (^j, ^2), • • • ? (f*-n fJr)* Si ces nouvelles intégrales sont des fonctions de f « , . • . ^ P/fr, cela n'apprendra rien de nouveau; mais, si quelqu'une d'entre elles fj^^^ est distincte des précédentes, on pourra la leur adjoindre, puis refaire la même opération sur le système ?i) ?2) ••'y ?H<' ^^ ainsi de suite, tant qu'on trouvera de nouvelles intégrales distinctes de celles déjà connues.

•49. Revenons à la théorie générale des systèmes d*équalions simultanées de la forme (1). Si, dans un semblable système

(16) Fi = o, ..., F^ir^O,

nous changeons Xq^ ,..,Xn en Xo -\- ^^0, •••. ^n-\-^knt $01 • • • » £rt étant des fonctions de Xqj . . . , x^ et e étant un paramètre infiniment petit dont nous négligerons le carré^ nous obtiendrons de nouvelles équatians

(17) Gi=o, ..., G„=:^0.

Si ces équations transformées sont des combinaisons linéaires des équations primitives, telles que

(18) Gf=:a,/F, + ... -hOni^n («'=1, •..,«),

nous dirons que le système (i6) admet la transformation infinitésimale ^0, . . ., Ç/|.

L'étude de ces transformations infinitésimales se lie intimement à celle des intégrales et des multiplicateurs du système proposé. Nous remettrons Texamen de cette question à la Section suivante, où elle se présentera sous une forme plus générale. Nous nous bornerons pour le moment à montrer

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. 55

que Tordre du système peut être abaissé, si l'on connatt une transformation infinitésimale ^O) • • m ^/d ^^^^^ ^"^ Téquation aux dérivées partielles

i ^ t à/ , df

puisse être intégrée.

Soient, en effet, jko . . . , j^/i les /i intégrales distinctes de cette équation. Lorsque o^o, ..., ^n seront changés en o^o + e^o» •••« aTnH- eÇ/i» Vi, . . . , yn resteront invariables; car j^/ se trouve accru de la quantité

Soit, d*autre part, r[ ce que devient (o lorsqu'on Pexprime en fonction de Xq, y^, . . . , y ni et posons

dx

Xi, •'•^yn étant traitées comme constantes dans l'intégration.

La transformation infinitésimale donnée, accroissant Xo dp

dy vt\ sans altérer j', , . . . , yny accroîtra y^ de eirj 3^ = e.

Si donc nous prenons pour variables indépendantes y^y jKi, . . ., ^/i, le système transformé ne variera pas quand on accroîtra y^ de e, sans changer les autres variables.

Cela posé, les équations de ce nouveau système, résolues par rapport aux différentielles dy^^ ...» dynt donneront un résultat de la forme

Pour que ce système se reproduise quand on accroît y^ d'une constante e sans altérer les autres variables, il faut évidemment que Y|, . . . . Y;, soient indépendants de yo.

56 TROlSlftMB PÀRTU. — GBàPITRI 1.

Il suffira dès lors, pour intégrer ce système : 1® D^intégrer le système d'ordre n — i

ce qui donnera ^2» • • • y ^a en fonction de j'i ; 2^ De substituer ces valeurs dans Téquation

laquelle donnera y^ par une simple quadrature.

50. Parmi les cas d'intégrabilité de l'équation (19), le plus simple est celui où les variables sont séparées, Ço dépendant de Xo seulement, Ç| de Xi seulement, etc. Le système

f^^\ dxo __dx^

d'où dépend l'intégration de l'équation (19), s'intègre alors par de simples quadratures, et l'équation (19) admettra les intégrales suivantes :

/dx* C dx^

1® Supposons, par exemple, que io? • • • ^ ^/i soient des constantes. Il faudra, pour réduire le système, prendre pour nouvelles variables les quantités

J?l X^ X^ Xq

et

f dx^ X^

X^ I» Xf^

a* Su[^posons, en second lieu, Ço=— » •••> \n= —»

ÉQUAnONS DIFFÉRBlfTIILLBS ORDINAIRES. 67

^0) • • •) ^n étant des constantes. Les équations (ao) deviendront

Oo dxo A} dûTi a^ dXj^

On en déduit

ao loga?o — <*/ ïog J?/ = coDst. ( / = I , . . . , /i) ou, ce qui revient au même,

=: const.

Il faudra donc prendre pour nouvelles variables

Si . Lorsqu'on a une équation unique

il est généralement avantageux de la remplacer par le syslèmi; simultané

, . dy , dv^ - dy'^-^ ^,

Ce système est susceptible d'abaissement, diaprés ce qui précède :

1® Si Féquation primitive (21) est homogène par rapport à j^ et à ses dérivées; car le système (22) admettra évidemment la transformation infinitésimale qui remplace^, ^, ... par y -|- ty^ y -^ ej^, . . . , sans altérer x\

2^ Si Féquation primitive se reproduit à un facteur près, lorsqu'on y change x et j' en jj -|- ex, ^ H- e^; car le système (22) admettra la transformation infinitésimale qui remplace X, yy y, f, .... jK""* par x + ex, 7 -H €7, /,

58 THOISltMB PARTIE. — CHAPITRE I.

3® Si l'une des deux variables x^ y ne figure pas explicitement dans l'équation primitive ; car cette variable ne figurera que par sa différentielle dans le système (22) et pourra se déterminer par une simple quadrature, quand on aura intégré le système d'ordre n — i , obtenu par l'élimination de cette diiTérentielle.

52. Si nous supposons que, non seulement y^ mais ses k — I premières dérivées ne figurent pas explicitement dans l'équation primitive, on n'aura, pour déterminer y^y ..., ^«~*, qu'à intégrer un système d'ordre n — k

dx~~^ ' ""' dx —j'^^^y '-'^y ^

Ayant ainsi déterminé y^^ on trouvera, par une série de quadratures,

puis

y^'^^fdxi^fy^dx),

expression que nous représenterons par la notation suivante :

j*-« ziz fy^ dx^.

On trouvera de même

yk-z — y^*-* dx •=. fy^ dx^ et enfin

y z= fy^ dx^.

53. Ces quadratures successives peuvent être remplacées par une quadrature simple.

Soit, en effet, f{x) la valeur trouvée pour y^ en fonction de X, On aura, pour déterminer^, à intégrer l'équation

Or on reconnaît aisément que cette équation admet, comme

ÉQ0ÀTI01I8 DIFPfiRSICTULLBS ORDINAIRES. 59

soIatioD, rintég^le définie

Prenons, en effet, les dérivées successives de cette expression par rapport au paramètre x; il viendra, en remarquant que /(i) {x — f)*"* et ses A: — a premières dérivées par rapport à X s'annulent pour t =.x^

Posons maintenant y = y^-\- z dans Téquation proposée ; il viendra

^=0, d'où 4!=:P^„

Pa-i désignant un polynôme arbitraire de degré A* — i.

La solution la plus générale de Téquation proposée sera donc