Considérons Téquation du second ordre On aura le système

dx-^'

Sous cette forme, il est aisé de voir que l'intégration peut être ramenée aux quadratures, toutes les fois que la

6o TROISiftHB PARTIE. — GHAPITEI I.

fonction f n contient qu'une seule des trois quantités

i*^ Si / ne dépend que de x^ la seconde équation donnera

/= / fi^x)dx^Cy et Ton trouvera ensuite

jrr / y^a?-hc'=:/ dx\ j /{x)dx\ -h cx -\' c',

2^ Si / ne dépend que de y^ on déduira des équations cidessus la suivante

■ydy=/(y)dr

Cl, en intégrant,

et enfin

, dv

d'où

3" Si y ne dépend que de^', on aura

CQCÀnoRS oirFtMorriBLLis ordduius. 6i

d'où

On aura donc x et j^, exprimés tous deux en fonction de la nouvelle variable^'.

55. Comme autre application, cherchons à déterminer les courbes dont le rayon de courbure en chaque point est proportionnel à la portion N de la normale interceptée par Taxe des X.

Le rayon de courbure R est donné par la formule

H=Hi)I.

D^autre part, en désignant par a Fangle de la tangente avec Taxe des J7, on aura

Les courbes cherchées auront donc pour équation différeniielle

dx"^

dx^ ~ ny L \dx ) J Cette équation du second ordre équivaut aux deux sui-

TROISlbHE PARTIE. — GHAP

vantes

dx ^'

déduit

de leur combinaison

Y'dy' dy i-h/* ny

et en

intégrant,

1 log ( i-h /» ) =r -i log y -h const. ,