IH-J

cl enfin

r=i/ ifV-'

Parmi les cas d'intégrabilité de cette expression, on doit signaler particulièrement les suivants :

i« /^ = — ij d'où

[-.a courbe est un cercle ayant son centre sur Taxe des y. 2^* /i == r , d'où

/cdy 7 4-V.>' — c* , , ; — : — c log=^ ^- h c',

<QUATI0H8 OIFFfiKBNTIELLES OSDIMAIRES. 63

d'où

JT—C

y -^ si y- — c* = ce *^ ,

jr-c*

/ — y'/' — c' = ce ^ et enfin

équation d'une chaînette.

3*» /ï = — 2, d'où

Posons

il viendra

--fsf^y^y

7=^(1 — COSç),

-hC.

= -12 sin*- çrfcpzr - 1 (i — cos<p)é/(p 1= - (cp — sin<p)

La courbe est une cjcloïde.

4» /i = 2, d*où

xz=ij ^j~ dy—i\/c{y-c)-\-c', cquation d'une parabole.

56. Proposons-nous, comme dernière application, de déterminer le mouvement d'un point attiré vers un centre fixe par une force égale à mf(r)^ r désignant le rayon vecteur el m la masse du point mobile.

Prenons pour origine des coordonnées le point attirant, et pour plan des xy celui de la vitesse initiale. D'après les principes de la Mécanique, la loi du mouvement sera donnée

par les deux, équations

On déduit de ces équations les combinaisons intégrables suivantes

et

d}x dry d f dx dy\

■"•^"5? "^'ÏÏ^'^dty'di^^'di)

dx drx dy d^Y xdx-\-ydy

^~ dt dl^ '^di W'^''^^^ 'rdi

I d dx' -+- dv' ^, ^dr

'i dt dt^ '' ^ ^ dt

dont l'intégration donne deux équations du premier ordre

dx dy

-^ dt dt '

2 dt* +fnr)dr = o.

Remplaçons les variables x, y par des coordonnées polaires

a?=:rcoste, j^=/'sin(o;

ces équations deviendront

(^4) 5^i hf/{r)dr = o;

d'où, en résolvant par rapport à d(ù et dt et intégrant,

cdr

r^^C'-2r^fJ{r)d/

/rdr

Le problème est ainsi ramené aux quadratures.

Les formules précédentes contiennent, comme cela devait

ÉQUATIONS DIFFÉRBNTIBLLBS ORBUfAIRBS. 65

être, quatre constantes arbitraires, à savoir c et les trois constantes introduites par les intégrations.