I-2(;JL — i)-hv-+-i — l=l2jJL-hV

Dans chacun des autres termes, le nombre des facteurs en dénominateur sera au plus égal à

l + 2|Xi-hv, — i-h...4-2[JLQ-hVQ— i=zi4-2((x — a)-4-v — P

^2ji.H-v — I — a.

D'ailleurs la proposition se vérifie immédiatement pour C02 ; donc elle est vraie généralement. Cela posé, faisons tendre X vers l'unité.

L'expression i r= r- aura pour limite celle-ci

laquelle satisfait à l'équation

dt' , dx

L'équation (19) sera changée en

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDDfAmES. 121

et, SI Ton cherche à satisfaire à celte dernière par une série de la forme

(22) 7 3=c,o^-+-c;j^'-+-...-hC;,v^:*^'^4-...,

les nouveaux coefficients G seront évidemment donnés par les mêmes formules que les C, sauf le remplacement de X par Funité.

Pour montrer la convergence de celte nouvelle série, comparons un terme quelconque T' de CJ^v au terme correspondant T de Cjxv. Les facteurs A|o-l-(i — î^)C|o, qui figuraient au numérateur de T sont remplacés par la quantité moindre Afo- Quant aux facteurs [Ji+Xv — "k du dénominateur, ils sont remplacés par des facteurs [x -|- v — i , qui leur seront au moins égaux si v n'est pas nul. D'autre part, si v est nul, auquel cas [x> a, on aura

Le nombre total des facteurs du dénominateur étant

5 2 JA. -h V — I< 2 ( [JL 4- V ) ,

on aura donc

et, par suite,

Cela posé, soit r le rayon d'un cercle dans lequel la série (20) est convergente : on aura, en désignant par M une constante,

et, par suite,

La série (22) sera donc convergente dans un cercle de rayon (2 — \y^r.

122 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRE I.

Revenons enfin à Téquation primitive (18) et cherchons à y satisfaire par une série

Coi étant une quantité arbitraire ayant pour module Coi. Il est clair que les coefficients cjiy seront déterminés par les mêmes formules que les coefficients C|tvj sauf le remplacement des quantités

^io> A.|o, ...» Aflip, ...

par

et que les coefficients Cy^^ auront les C'^v pour limites supérieures de leurs modules. La nouvelle série sera donc convergente pour des valeurs assez petites de x et de t',

98. Considérons, en dernier lieu, une équation algébrique irréductible

entre y et sa dérivée, et de degré n par rapport à celle-ci.

Une intégrale y de cette équation sera complètement

définie si Ton donne pour la valeur initiale a:o de la variable

indépendante ^ : i" la valeur initiale j>^o de y^ laquelle peut

être prise arbitrairement ; 2^ la valeur initiale de -^> laquelle

devra être choisie parmi les n racines de Téquation

Si Ton fait décrire à x une ligne continue quelconque,

dy , y et —^ varieront également d'une manière continue tant

que x ne passera par aucun point critique.

Soit Ç Tune de ces valeurs critiques. Nous avons vu que lorsque x tend vers Ç trois cas pourront se présenter :

1** y ne tend vers aucune limite;

a** y tend vers une valeur finie r\ pour laquelle réquation

admette une racine multiple ou infinie, et -r- tend vers cette

racine.

3** y tend vers oo.

La première de ces hypothèses doit être rejetée. On pourraily en effet, assigner à x une valeur \ plus voisine de \ qu'une quantité arbitraire e et telle : i° que la valeur correspondante de y eût son module au plus égal à une quantité fixe À; 2° que la distance du point t)' à chacun des points 7^

pour lesquels réquation/= o donne pour -j- une racine multiple ou infinie soit au moins égale à une quantité fixe S.

Soit r une quantité positive moindre que 3.

Pour toute valeur 7/ de y qui satisfait à ces conditions, les m racines de l'équation /= o seront développables en série convergente suivant les puissances de^ — t)' dans l'intérieur d'un cercle de rayon r décrit autour de V et sur sa circonférence. Elles resteront donc finies et continues. La région du plan couverte par ces cercles est d'ailleurs bornée et parfaite. Le module d'aucune de ces racines ne pourra donc surpasser un maximum fini M.

Cela posé, l'élément de fonction analytique, qui permet de déterminer la variation de y au delà du point ^', a un rayon de convergence certaine, qui peut élre assigné en fonction des deux nombres fixes r et M et qui, par suite, est lui-même un nombre fixe, plus grand que l'infiniment petit e qui représente la distance des points ^ et \, Ce dernier point ne peut donc être critique, comme nous l'avions snpposé.

Nous connaissons donc a priori les valeurs de y^ finies ou infinies, qui correspondent aux points critiques.

99. Soit V) l'une de ces valeurs, supposée finie. Nous savons qu'en faisant tendre y vers t) suivant une ligne con-

venable, nous pourrons faire en sorte que -~-> ou son

dx inverse -7- tende vers Tune quelconque des n valeurs fournies par l'équation

Chacune de ces racines peut être développée aux environs du point 7; suivant les puissances croissantes, entières ou fractionnaires de ^ — f\.

Soit

dx - ?

Tun de ces développements; /?, a, ^, . . . étant des entiers

sans diviseur commun.

Si /> -h a^o, l'intégrale du second membre, prise dej^à Tj,

aura une valeur infinie ;^ ne pourra donc atteindre la valeur 7^

dx\ avec cette détermination de --r- ) pour aucune valeur finie

de X.

Si /? -t- a > o, l'intégration donnera, en désignant par \ la valeur finale de x,

et Ç pourra être un point critique de l'intégrale^.

Pour nous en assurer, développons, suivant les puissances

croissantes de x — S, celles des valeurs de {y — 7^)'* qui

s'annulent avec x — \, Ces développements seront de la

forme

où u représente successivement les diverses valeurs du

radical {x — Ç)»^'-

On en déduit

/ — Tj = (cj tt + c, «* -f- . . . )'' = ^p «'' -H ^p+i f^^^ -+-

On voit par là que le point Ç est en général un point critique algébrique pour Tinlégrale y. Ce sera un point ordinaire, au moins lorsqu^on j arrive avec la détermination

de -j- que nous avons adoptée, si le développement dey ne

contient que des puissances de u multiples de /? + a.

Ce cas se présentera si /? -4- a = i . Cette condition est d^ailleurs nécessaire. Supposons en effet qu'on obtienne, pourjK — "^i, un développement suivant les puissances entières et positives de x — $, tel que

On en déduira, en renversant Ja série,

Comparant avec le développement (24), on voit qu'on doit avoir

|i, V, • . . étant des entiers. Mais/?,/? -f- a, /? H- p, ... n'ayant pas de facteur commun, on aura |Jl = i , d'où p -\- cl= i. Considérons maintenant une valeur inflnie de y. Posant

y=--^ nous obtiendrons une équation transformée

et nous développerons les diverses valeurs de -^ suivant les puissances croissantes de z. Soit

dx ^ ?

(25) -;,-^=XzP-{-BzP-^...,

CIJS

un de ces développements. Intégrons-le de 5 à zéro. Si /?-f- a<o, l'intégrale du second membre sera infinie. Donc-s

ne pourra devenir nul ou y infini, avec cette détermination de la dérivée, pour aucune valeur finie de x.

Si /? H- a ^ o, on aura, en appelant \ la valeur de x pour ;5 =r=o,

x — \z=z -tL — z P -\' -J-—^ z P 4- ... ;

d'où, en posant (x — Ç)a'-^« = «,

z = c'^ uP -h c'p+i uP-^^ 4- . . .

et enfin

y = - = -7- M-'' -+- au-P-*-^ -h. . .,

Donc Ç sera, en général, un point critique algébrique pour la fonction y^ lorsqu'on y arrive avec la détermination de la dérivée que nous considérons. Ce sera un pôle, si /? -h a = I .

Nous avons ainsi déterminé la manière dont la fonction j^ se comporte aux environs de chaque point critique; mais la position de ces points critiques reste encore inconnue.

100. Considérons, en particulier, le cas où y est une fonction uniforme. D'après ce qui précède, ce cas est caractérisé parla condition que, dans chacun des développements précédents, /) 4- a est nul ou négatif ou égal à l'unité.

Si cette condition est remplie, y^ n'avant que des pôles, sera une fonction méromorphe. Nous allons montrer qu'où peut la déterminer par des opérations purement algébriques.

En efiet, --r- étant une fonction algébrique àe y^ x considéré comme fonction de y sera une intégrale abélienne et aura, pour chaque valeur Y de jk, '^ systèmes de valeurs

Xj -h 2/710) -f- 2 7n'(ij'-{-. . .,

où m, /??', . . . sont des entiers et 2(o, 2w', ... des conslantes

ÉQUATIONS DlFFÂREPiTlBLLES ORDINAIRES. 12^

lînéairemeDt distiDctes, chacun de ces systèmes de valeurs

correspondant d'ailleurs à une des n déterminations de -7-

pour y = Y,

L'intégrale j^, considérée comme fonction de ^, admettra donc les périodes 2(0, 2(o', ..., et, comme une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes linéairement distinctes, trois cas pourront se présenter.

101. Premier cas : Il existe deux périodes distinctes, ao> et 2co'. — Uintégrale y sera une fonction méromorphe et doublement périodique d'ordre n.

 chaque valeur de y, finie ou infinie, et à chacune des

déterminations de -7- correspondront des valeurs finies de j:,

une dans chaque parallélogramme des périodes. Pour que ce cas se présente, il faudra donc que, dans chacun des développements (28) et (25),/? + a soit égal à i; car, s'il était nul ou négatif, ce développement ne pourrait fournir aucune valeur finie pour a:.

Cela posé, soit p(«, g2t gz) la fonction elliptique de Weierstrass qui admet les deux périodes 20) et 2(0'. La fonction p{x — j:©» §21 g%) elliptique du second ordre, sera liée ky par une équation algébrique

du second degré en^ et de degré n en p(x — Xq^ g2, g^)- 11 reste à déterminer : i® les coefficients A, B, ... du polynôme F; 2° les invariants g2-, gz* On y parviendra en développant le premier membre suivant les puissances croissantes At X — Xq et identifiant le résultat à zéro. On a, en efiet,

-H rô ^3(^ — ^0)* 4-

128 TROISlfiMB PARTIS. — CHAPITRE I.

D^autre part, l'équation

donne, par difTérentiatlon, les dérivées successives de y exprimées au moyen de j^ et -^« Or, pour x = Xq, on connaît la valeur j/'o de y et l'on a précisé, en outre, celle des racines de l'équation ci-dessus que l'on choisit comme valeur

, . , dy

initiale de-r-* On peut donc déterminer, pour x = Xoj la

valeur de y et de toutes ses dérivées et, par suite, développer j^ suivant la série de Tajlor.

Les équations, fournies par cette ideutiGcation à zéro, sont évidemment linéaires et homogènes par rapport aux coefficients A, B, ... et algébriques par rapport à ^2, g^.

102. Deuxième CAS : Il n'existe qu'une seule période :^<ù, — Ceux des développements (aS^ dans lesquels /> -h a ;> o donneront chacun une série de pôles de la fonction j/*, ayant pour formule générale Xq + 2ma) (xq restant à déterminer). Aux environs de chacun d'eux, on aura pour y un développement de la forme

Y= ' -h. . .H hûTo-l-...,

*^ (X — a?o — 2m(i>)^ X — jtq — 2//î<«>

où p et les coefficients a^, . . .^ ^o, • . • sont donnés par l'analyse précédente et ne dépendent pas de m. Cela posé, l'expression

admet la période 2(o. Elle a pour pôles les points 0:0+ a/no>, les résidus correspondants se réduisant à l'unité.

Sa dérivée d'ordre k admettra les mêmes pôles et sera, aux

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDmAlRIS. I29

environs du pôle Xq + 2mw, de la forme

{x — Xq — 2/;^a))*^'

R ne devenant plus infini.

On aura donc

du (-J)P'^ dP'Ui

le reste j^' admettant la période co et les pôles de^-, sauf ceux de la série Xq -f- amw. On trouvera de même

s désignant une nouvelle fraction rationnelle formée avec

e ^ ciy'^ une autre fonction périodique où une seconde série

de pôles a disparu. Conlinuant ainsi, on pourra mettre v

sous la forme

TC/r

T étant une fraction rationnelle en c *** et Y une fonction périodique qui n*a plus de points critiques à distance finie, et qui, par suite, sera développable par la formule de Fouricr en une série procédant suivant les puissances poï^itives et

néo^atives de e *** . Or M. Picard a démontré que, si cette série contenait un nombre infini de termes, l'équation précédente donnerait en général, pour chaque valeur dey, une in-

ÎC/JT

finité de valeurs de e*** . Mais à chaque valeur de y correspondent n séries de valeurs de x] et, comme les diverses

Twf •*

valeurs d'une même série donnent la même valeur pour e " , cette quantité n'a que n valeurs pour chaque valeur de j\ Donc la série Y sera limitée, et y sera une fraction ration-

TTi jr

ir/.r

nelle en e " ; on aura dore

(26) Pj^Q^o,

Pet Q étant deux polynômes entiers ene^ , l'un de degré /?, Tautre de degré ^/i.

J. — Cours, III. 9

l3o TROISIÈME PARTIK. — CHAEHTRB I.

Les coefficients de ces deux poljnômes se détermineront comme dans le cas précédent.

Il est aisé de trouver le critérium qui caractérise ce second cas. En effet, pour chaque valeur de^, l'équation (26) donne

en général, pour e^ ^ n valeurs finies et différentes de zéro ; d'où résultent pour x^ n classes de valeurs ^0 -h 2/na), . . . , 0Cn-\ + 2/wa), Xq^ . . . , Xn-{ étant des quantités finies. Il y a toutefois exception pour les deux valeurs (finies ou

/nri.r

infinies) de y qui annulent le coefficient de e *** ou le terme

indépendant de e ^ ; car ces valeurs donnent pour e^ une racine, ou un groupe de racines, nulles ou infinies, auxquelles ne correspond aucune valeur finie de x.

Soit, par exemple, y^ la valeur de y qui aunule une ou plusieurs racines de Téquation. Soit q le nombre de ces racines. Aux environs du point j^i on pourra les développer en séries de la forme

e'"=Pi(V-r,)V4-p,(j-j,)V4-....

Oa en déduit

^ = log[p.(v -/,)''+ P.(J- Ji)^+. . .]

^ i log( j j,) 4- logLP,-+-p,(j-/,)v -+-... J

-^ ^ïog(7 — 7i)-^1fi-^ïî(7- v,)'^^-...; d'où, eu prenant la dérivée par rapport ky^

Soit de même y2 la valeur de y qui donne des racines infinies, en nombre q'» On pourra développer leurs inverses en séries de la forme

ÉQDÀTI0N8 DIFFÉRBNTULLBS ORDIlfAIRBS. l3l

d'où Ton déduit

SI les racines nulles ou infinies correspondaient à une valeur infinie de ^, ces développements suivant les puissances de jr — y^ ou de y — y2 devraient être remplacés par des

développements analogues suivant les puissances de - = ^.

Les deux développements précédents doivent évidemment faire partie de la série des développements (28) et (aS). Donc parmi ces derniers il en existera deux qui commencent par un terme de degré — i et pour lesquels p -\- ol sera nul, cette quantité étant égale à i pour tous les autres, qui doivent donner pour x des valeurs finies.

L'identification de ces deux développements avec (27) et (28) fera d'ailleurs connaître la période to, et les entiers q^ q'.

103. Troisième cas : Il i\!y a aucune période, — Dans ce cas X ajant n valeurs seulement pour chaque valeur de j^, et n'ayant que des points critiques algébriques, sera une fonction algébrique de y. Réciproquement, y sera algébrique en X et, comme il est uniforme. Il sera rationnel. On aura

donc

P et Q étant des polynômes entiers en x^ l'un de degré /?, l'autre de degré ^/i, dont on pourra déterminer les coefficients comme précédemment.

Pour chaque valeur dey, on aura n valeurs de x^ généralement finies. 11 n'y aura d'exception que pour la valeur (finie ou infinie) dey qui annule le coefficient de x", et à laquelle correspondra une racine, ou un groupe de q racines, infinies. Les inverses de ces racines pourront être développées en séries de la forme

l3a TROISIÈUB PARTIE. — CBAPITRB I.

d'oii

^ =Yi(7-yi)"'^-^Yî-+-T»(7-yi)^-^ •••;

dy q^^ ^'^

Donc l'un des développenients(23) [ou des développemenls (25) si la valeur de y qui rend x infini esl elle-même infinie]

commencera par un terme d'exposant — On aura donc

pour ce développement/? -+- a = — i, et pour tous les autres /? -I- a = I .

Les divers caractères dont nous avons reconnu la nécessité dans chaque cas, étant contradictoires entre eux, seront en même temps suffisants. On pourra donc a priori reconnaître dans qui(3l cas on se trouve, sans qu^'l soit besoin de tâtonnement.

lOi. Comme application des résultats qui précèdent, cherchons, parmi les équations binômes de la forme

;?, Xiï^oj • • • étant des entiers sans diviseur commun, celles dont rinté*;rale est monodrome.

Les points critiques de

dx -1 -^ -^-*

sont «1, ^r Poi;r l'un d'entre eux «i, on aura comms

déNelop|.emcnt

dt --

D'autre part, si Ton pose j'= -> on aura Téqualion Iransformée

fiQIIATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. ] 33

doà

Si donc nous posons, pour abréger, - = ^., -=^„ ..., a = -!x,

il sera nécessaire et suflîsant que |jl, (Xi, |jl2, . . . soient de la

forme ^- ? i ou ^- Ces quantités satisfont d'ailleurs à

la relation

(29) jH- jx, -f- (X, + . ..— 'X,

Premier cas : U intégrale est doublement périodique, — Dans ce cas, [x, [Xi, [X2, .. . seront tous de la forme ■^- »

et, par suite, au moins égaux à *, sauf |x, qui peut être nul.

Supposons d'abord |x == o. Il résulte de l'équation (29) que le nombre des quantités [X|, |Xj, ..., qui sont toutes = ^, mais <[ I , sera 4 ou 3.

S'il y en a quatre, on aura nécessairement

1*1= K-î^ l^3=^!^v— l» d'où ).,— X,= X3— X.— r, n ::- a.

S'il y en a trois, on aura, en substituant dans (29), pour

V'\^ JAa? J^Sî leurs valeurs '-^ » — , — ,

^ ' * Pi Pi fz

Pi Pt Pi

Les quantités Px^p^t Pi étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante, on en déduira

— ri, d'où Pi ^=3 ou a.

Pi

Si Pt = 3, on devra avoir

Pi=Pi~^i

l34 TROISlftMB PÀRTIB. — cnÀPITU I.

Si /?! = 2, il viendra

Pt P% î»

d'où

Si ^2 = 4} on aura aussi

Si /?2= 3, on aura €6 qui donne les deux solutions

X,=:2, X,™I, Xj^I, /i — *î,

Xi^S, Xj=:i 4» Xj--5, /i — ■ 6.

Les solutions où |x n'est pas nul se déduisent évidemment des précédentes par la suppression d'un facteur. On obtient ainsi les nouvelles solutions

Xï = Xj^^ Xj^r I, /i := a,

X,= 2, X,=il, //==:4,

Xi=::3, Xj=:4> /i =^ 6,

X,= 4, X,= 5, ;i3r--6, Xi=:i3, Xj=5, /i in 6.

Deuxième cas : L intégrale est simplement périodique. — L'un au moins des nombres [x, [jL|, [jl2, . . • sera égal à i. Soit d'abord [x = o, ^, = i . L'équation (29) deviendra

fiQCÀTIORS DIFPÊKBNTIBLLES ORDINAIRES. l35

les quantités pis, 1^3, ... étant égales à i ou de la forme

On voit par cette équation que le nombre des quantités

^2} l^tf • • • ne peut surpasser deux.

Si ces quantités sont au nombre de deux, on aura nécessairement

d'où

S'il n'existe qu'une seule quantité ^^i on aura

d'où

Xj=Xj=i, nr= I.

Les solutions où [a n'est pas nul s'obtiendront encore par la suppression d'un facteur et seront les suivantes :

Troisième cas : U intégrale est rationnelle. — Une des quantités |x, |jI|, ... sera de la forme — — > et les autres de

la forme ^ •

I ix = o et u, = • , U.2 = ~ ) • • • > il viendra

Pt—i , ^tZLL

Pt q

On aura donc

{!,=... = 0 «t Pi^q^ d'où

X, = 7H-i, X,=:^--i, n:=zq,

l'entier q restant arbitraire.

l36 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — ÉQUATIONS, ETC.

Enfin, si [x n^est pas nul, on aura les solutions

lOo. Les considérations développées dans cette Seclion permettent de définir, d'une manière plus précise, les diverses sortes d'intégrales que peut présenter une équation différentielle

Soit X(i une valeur particulière de la variable indépendante. A toute valeur initiale y^ donnée à j*, et telle que (j:o>J'o)soit un point ordinaire pour la fonction/, correspond, comme nous l'avons vu, une intégrale de l'équation différentielle, dont on pourra suivre la variation, soit dans tout le plan, soit dans une région limitée par des lignes singulières. Outre ces intégrales, ordinaires par rapport au point Xq^ et qui diffèrent les unes des autres par la valeur de la constante ^o? il peut en exister d'autres, qui deviennent infinies ou indéterminées pour x = Xq^ ou prennent en ce point une valeur j^Oî telle que (^oîJKo) soit un point critique pour la fonction/. Ces intégrales seront dites singulières par rapport au point Xq,

Gela posé, nous appellerons intégrale générale l'ensemble des intégrales particulières qui sont ordinaires pour quelque valeur de x\ intégrales singulières celles qui seraient singulières par rapport à toute valeur de x.

Il est clair que l'existence de ces intégrales singulières sera \\r\ phénomène exceptionnel. Soit en effet F(^,7') = o la relation qui doit exister entre x et j)' pour que /présente un point critique eu x^ y\ il faudra, pour qu'il y ait une intégrale singulière, que la valeur de j eu fonction de x^ tirée de l'équation F = o, satisfasse à l'équation différentielle proposée, ce qui n'aura lieu qu'accidentellement.

ÉQUATIONS LINÉJLiliBS. iSj