I. — Généralités
108. On nomme équations différentielles linéaires celles où les fondions inconnues et leurs dérivées ne figurenl qu'au premier degré.
Ces équations jouissent de plusieurs propriétés que nous allons exposer.
107. I'* Toute équation linéaire reste linéaire si Von change la variable indépendante.
Soit, en effet,
une semblable équation, poy p\y . . ., ï désignant des fonc-
lions connues de la variable indépendante /.
Posons t = ^(ti), u désignant une nouvelle variable. 0:i
CQ déduira
dx dx
Tu =1S^(")'
d*x d^x ,,, . dx ., ^ 7?i^ = ^?'(«)H-^,-<P'(«),
dx d^ X équations qui donnent -r-j -rr ^ ••• en fonction linéaire • ' ai ai-
i38 TROISIÈHB PARTIE. — GDAPITRB II.
de -T-> -j— > •••• Substituant ces valeurs, ainsi que celle
de ^, dans l'équation proposée, on obtiendra Téquation trans-
dx d'x du du}
formée, qui sera évidemment linéaire en x, -j-^ -z-jy
108. a** Soient x, y^ ... n fondions d'une même variable indépendante t, satisfaisant à un système de n équations linéaires
et soit V un polynôme entier par rapport à x^y^ ... et à leurs dérivées successives, dont les divers termes aient pour coefficients des fonctions quelconques de t. La fonction V satisfera à une équation linéaire dont les coefficients s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de Et, . . . , E„, V et de leurs dérivées successives.
En effet, soient respectivement m, m', ... les ordres des plus hautes dérivées de x, y, ... qui fîgurent dans les équations (i); k le degré du polynôme V. Formons les dérivées successives de V. Chacune d^elles sera un polynôme de degré k par rapport k x^y, . . . et à leurs dérivées suc-
cessives. D ailleurs les dérivées — ; — > , „.^, > •••, -7-4 >
dt'"^ dt"^^^ dt"^
, ;^^ > ••• peuvent s'exprimer linéairement par les dérivées précédentes, au moyen des équations (i) et de celles qui s'en déduisent par dérivation.
dy
Substituant ces valeurs, on aura pour V, -t-j •••^ des expressions de la forme
V =T,Pi-hT,P, -h...,
T|, T2, . . . , T'^, T'jj, . . . étant des fonctions de t, de l'espèce
ÉQUATIONS LINftÀIBBg. iSg
indiquée à renoncé, et Pi , Pj) • • • des produits de la forme
[de) -'[-di^) ^^ij -\-dï^) ••-
où le nombre total des facteurs est au plus égal à k. Soient P| , P2, ..., P/ les divers produits de ce genre que Ton peut former et dont le nombre est évidemment limité. L'éliminalion de ces quantités entre les expressions (2) donne une
relation linéaire entre V, --t-» •••> -j-r*
at al'
109. 3° On sait que tout système d'équations diflTérentielles simultanées peut être ramené, par l'adjonction de variables auxiliaires et la résolution par rapport aux dérivées des fonctions inconnues, à un système normal. Si les équations sont linéaires, il est clair que ces opérations laisseront subsister le caractère linéaire.
L'étude d'un système linéaire quelconque se ramène donc à celle d'un système linéaire normal de la forme
-T- -f- a j? -h of -h . . . -- T,
dv , T,
oùa, 6, • • ., ai, 6|, . . . , T, T|, ... sont des fonctions de /• Nous considérerons en premier lieu les systèmes dits sans second membre, où Ton a
T = Ti = ...:= o.
HO. Théorème. — Si x^j y%j ... ; X2, y^t • • • î • • • -^o/if des solutions particulières d'un système d'équations linéaires sans second membre, les expressions
où C|, C2, - • . sont des constantes arbitraires, satisferont au même système d'équations.
l4o TROISlbttB PARTIE. — CHAriTRE 11.
En eiTety le résultat de la substitution de ces expressions dans le premier membre de Tune quelconque des équations proposées sera évidemment de la forme
I1i désignant le résultat de la substitution de Xi^yiy . . *, II2 le résultat de la substitution de Xf,y2f •••• Mais Xf, ri<i • • . ; ^2i y'2^ • • . ; • • • étant des solutions, on aura
1* * Ci ou
II,r:=0, H,=ro, ...,
Cj IIi -!- CjHj-f- . . ."^ O.
111. Considérons spécialement un système canonique formé de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre. Ce système admet la solution évidente x = o, ^' = o, ...; mais il admet une infinité d'autres solutions particulières.
Nous dirons que A" solutions particulières d'un semblable système, telles que
^kj ykj -Sa-,
sont indépendantes, si l'un au moins des déterminants d'ordre k formés avec les diverses colonnes du Tableau cidessus n'est pas identiquement nul.
Théorème. — Si l*on connaît k solutions indépendantes (l'un système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre {k étant <^ n)^ on pourra ramener r intégration du srstèma proposé à celle dUin système analogue ne contenant plus que n — k équations et à des quadratures.
Chaque solution de ce nouveau système fournira une solution du système primitif y indépendante de celles qui sont déjà connues.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. l4l
Nous admettrons, pour fixer les idées, qu'on ait quatre équations
-j--hax h by -4-C5 -h du l- o,
^ -r «iX -4- h^y -I- C,5 h ^/jW :-- o,
' --.T -h ajj: 4- ^j/ -I- CjC -h ^/j// — o, et (|ue Ton connaisse deux solutions indépendantes
Admettons qu'on ait, par exemple,
On pourra poser
Ka^x^ ~\~ v^i*2'2f
Ci7, -h C, Vj,
f^i> Cj, s» ^ élant de nouvelles variables. EfTccluant la suhslitution et remarquant que les termes en C|, C2 s'annuleiil (car les équations proposée:» seraient satisfaites si ^, u éfaictil nuls et C|, C2 constants), il viendra
Xi H r- J7- -H c (, 4- a j -- o,
dt
-1 -^ — ;, -1 -^ -j^ -+- ^îî -^- ^^i'^ - O,
dl *
lit
dC^ d'j
lf\2
TROISiftVB PARTIB. — CUÀPITRB II.
n . , j . . , dCi dC. d^ do
Résolvant par rapport aux dérivées --7-9 -jr^ -^> ^> on aura un résultat de la forme
; rfC
dt
r-AC -h Bu,
dC, dt
AiÎ4-Bju;
dt
do dt
rz:A,Ç-+-B,U.
On obtiendra donc 2^ et u en intégrant les deux équations linéaires simultanées (5); G| et C2 s'obtiendront ensuite par des quadratures.
Soient d'ailleurs 2^', u' une solution particulière quelconque des équations (5) (autre que la solution évidente Ç= o, u = o); et supposons, pour fixer les idées, que Ç' ne soit pas nul. Soient C'^, C'^ les valeurs correspondantes de Ci y C2. La solution
— Lij .27| -f- Ci| J7|,
= G, :;i -h Gj 5, -+- ?',
= Ci tti -hCj«,-hu'
sera indépendante des deux solutions déjî^ connues a? i, j'i, « I , W| , ; x-2i y^j z<ij 11-2 1 csir le déterminant
est différent de :
zéro.
H2. Théorème. — Tout système de n équations linéaires du premier ordre et sans second membre admet n solutions particulières indépendantes J?i, V|, . . .; . . .;
^m yn^ " * et sa solution la plus générale est la suivante
oà C| , . . . , C/i sont des constantes arbitraires.
La première partie de cette proposition résulte de ce que nous venons d'établir, que de Texistence de k solutions indépendantes {k étant <:^ n) résulte celle d'une nouvelle solution indépendante des précédentes.
Pour démontrer le second point, posons
C|, . . ., C/i désignant de nouvelles variables. EiTectuant la substitution et remarquant, comme au numéro précédent, que les termes en C|, . . ., Cn s'annulent, il viendra
dCy d^An.
Mais le déterminant des quantités ^i, j^i, . . .; . . .; Xn^ y ni • • • est ^ o par hypothèse, les n solutions données étant indépendantes ; donc
^Ci dÇj,i
— j— =:: o, .... —rr ^=^ o
dt ^ dt
etC|, . . . , Cn seront des constantes, d'ailleurs arbitraires. H3. Soient
ç, z=c', 07,+. . .-f-c^oTrt, 7),=Cj7,h-. ..4-c;,/rt, . . .,
n solutions particulières quelconques du système proposé. Leur déterminant est évidemment égal au produit du déterminant des solutions ^i, jKo • - •> • • - i ^ni Xn^ • • - p^i* le déterminant des constantes C'^ , . • ., C^. La condition néces-
l44 TROISlftne PARTIE. — CHAPITRE IT.
sairc et suffisanle pour que ces solutions soient indépen dan te i est donc que ce dernier déterminant soit différent de zéro.
H4. Les coefficients des équations différentielles proposées peuvent aisément s'exprimer au moyen d'un système quelconque de n solutions indépendant s, telles que Ç|',
Soit, en effet,
-T- h ax -4- ^j -4- ... — o une de ces équations; on aura identiquement
—Tj -H aç, -h ^T,, -4-. . .r= O,
-7^ -H «în H ^T^/i-l-. . . = 0,
et de ce système d'équations on déduira or, 6, ... exprimes par des quotients de déterminants.
115. A tout système d'équations linéaires sans second membre, tel que
dx
-1- -^-aj? -^by -\-cz — o,
-^ -ha,a:-4-6,7-hc,5=zo,
^ H- a,x -f- b^y -4- CiZ — o,
est associé un système adjoint défini par les équations
-~ -h6X^^iY-h^Z.^o, dt
Cl £j ,
77 H- C\ 4- Cl Y -r C,Z — O.
ÉQUATIONS UNÉÀIABS. l45
Les solutions de ces deux systèmes ont entre elles une liaison remarquable. Pour la mettre en évidence, ajoutons les équations précédentes, respectivement multipliées parX, Y, Z, — Xj — jKî — ^« Il viendra, toute réduction i'aite,
. dx dX. -, dv dY „dz dJé
''=^Tt-^''iû'^^irt^y-dt^^'di^'irt
d'où
Xx -hYf -h Z-5 = const*
La liaison entre les deux systèmes adjoints est évidemment réciproque. L'intégration complète de Tun d'eux entraînera celle de l'autre. Supposons, en efTet, que l'on connaisse trois solutions indépendantes x^, y^, z^] ^2» J'29 ^2î ^s> J'jî *3 du premier système. La solution générale X, Y, Z du système adjoint sera donnée par les relations
Xa;,-t-Y7i-i-Z^,=rCi, Xx,-f-Y/,-hZz,=rC„ X j?, 4- Y/, -h Z^, — Ci,
G|, C2, C9 étant des constantes arbitraires.
Si l'on connaissait seulement une ou deux solutions' indépendantes du premier système, on aurait seulement une relation linéaire
Xari-hY7i-hZ^,=::C,
OU deux relations
X^i + YjiH- Z«, = Gi,
Xa?, -h Y/, 4- Zz2= G,.
Ces relations permettraient d'éliminer une ou deux des variables X, Y, Z des équations diflerenlielles du système adjoint, et de ramener ainsi l'intégration de ce dernier système à celte d'un système plus simple, contenant une ou
deux équations de moins.
J. — Cours, m. 10
l46 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE II.
H6. Systèmes adéquations linéaires à seconds membres. — Soit à intégrer un système d'équations linéaires à seconds membres, tel que le suivant :
doc
-jj H- ax -h by -hcz -^du = T ,
dy , t «,
ds
-^ -H ajO? -h b^y -hCfZ-\- diU = T,,
-j- -h aix -h biy + CiZ -\-dtU=z. T,.
Considérons le système linéaire analogue
, , , -^ -h ax -h by -h cz -ï- du :=^Oy
obtenu en supprimant les seconds membres.
Nous avons vu (111) que, si Ton connaît deux solutions indépendantes de ce dernier système, on peut, par un changement de variables convenablement choisi, le ramener au système suivant :
f^ =A.î + B,«, J; =A.î:-hB,o.
Il est clair que le même changement de variables, appliqué au système (6), le ramènera à la forme
at
8, . . . , 63 étant des fonctions de t. On n'aura donc, pour déterminer ^ et u, qu'à intégrer un système de deux équa-
dt
dt
lions linéaires simultanées; C|, €3 s'obtiendront ensuite par de simples quadratures.
Si l'on avait obtenu Tintégrale générale du système (7)
a: =: Cl a?! -h C| J7j 4- CjJ7j-t- C^œ^f
a = Cj «1 -h Cl «, 4- C| 1/, -h C4 M4,
l'intégration du système (6) pourrait s'effectuer par de simples quadratures. Substituons, en efTet, les valeurs précédentes dans les équations de ce système, en considérant C|, ..., C4 comme de nouvelles variables. Ces équations deviendront
dCi dCf dC^ dC^
"sr"^'"^ ir''*'^ 'dt'^*^ "Hr"^*- *'
rfCi rfC, rfC, dC^ ,
et donnent immédiatement les dérivées — t-^> •••, — 7-^- On
dt dt
aura donc C|, . . . , C4 par des quadratures.
117. On pourra même se dispenser de ces quadratures, si l'on connaît une solution particulière x^^y^y ^o) <^o ^u système (6). Posons, en effet,
Le résultat de la substitution de x^jy^^ z^^ Uq dans les premiers membres des équations (6) détruira les seconds membres, et il restera
^ -h aÇ -h ^Ti 4- c Ç -f- rfu = o,
On obtiendra donc la solution générale du système proposé en ajoutant la solution particulière x^j y^y Zq^ Uo k la solution générale du système sans seconds membres.
l48 TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE II.
Od peut enfin remarquer que, si les seconds membres sonl de la forme
et si Ton connaît une solution particulière JCo».X'o> • • • pour un système analogue où les seconds membres se réduisent respectivement à T', T^, • . . , une autre solution particulière x\^yQi ... pour le cas où les seconds membres se réduiraient à T^,T'^, • . ., etc., on aura une solution particulière du système proposé, en posant
