ia;'»-*H-.. .H-/)^a?=T
qui rentre comme cas particulier dans ceux, que nous venons de discuter. Il convient, toutefois, d'effectuer Tétude directe de cette équation ; car elle fera paraître sous un nouveau jour quelques-uns des résultats déjà obtenus.
119. Considérons d'abord Téquation sans second membre ov d'^x d'*~^ X
Soient â?! , , , .^ Xk des solutions particulières de cette équation. Nous dirons que ces solutions sont indépendantes.
ÉQUATIONS LINÉAIEIS.
si le délerminant
Xjf
formé par ces fonctions et leurs k — i premières dérivées n^est pas identiquement nul.
Toute équation linéaire (Tordre n sans second membre admet un système de n solutions indépendantes Xi,., , ^x,,, et sa solution générale est
d| Xl -f- . . . -+- C*|, Xfly
Cl, ..., C„ étant des constantes arbitraires.
Pour établir ce théorème, nous supposerons qu*il soit vrai pour les équations dWdre n — i et nous montrerons qu'il est encore vrai pour Téquation (8) d'ordre n.
Soit Xi une solution de cette équation (autre que la solution évidente x-=^o). Posons x^^Ox^^ C désignant une nouvelle variable. On aura
dx 'di
:=C'j?|-f-Cx',,
= C«a:,-+./iC»-*a:;4- ^ '-^C^'^x',
Cx'}.
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura l'équation transformée
(xtC-h/ix; c-« 4- '^^^^^^\
Pi^i
L*équation devant être satisfaite, par hypothèse, si l'on
TROISikHB PARTIB. — GHÀPITHB II.
suppose C constant, Téquation (9) ne contiendra aucun term» en C. Ce sera donc une équation linéaire d'ordre n — i par rapport à sa dérivée G. Elle admettra, par hypothèse, n — i solutions indépendantes ^2» •••)J^/i) ^^ sa solution générale sera de la forme
où C2> . . ., C/i sont des constantes arbitraires. Intégrant cette expression, il viendra
C = C, -i- C, r 7, rfr + . . . 4- C„ r 7« c?/,
X étant une quantité choisie à volonté, et d une nouvelle constante arbitraire. On en déduit
oc tr^n V-i J? j ^^ \j\ 00^ — f~ vij OC^ -f- . . . -{- Li/i OCff ^
en posant, pour abréger,
^t — ^ij ïtdt,
dt.
Il reste à prouver que le déterminant
m * uC ■
vv y *Ay m • • • *A/ n
n'est pas identiquement nul.
Or ce déterminant est égal à
^1 ^t / y^dl
A A f yt^^-^ aoj'i/jH- ^,/; . . . x\j y a dt -f- ^x\ y„ + j:,r;
^1 / fndt ^1 / yndt
ÉQUATIONS LINÊiaRBS.
OU, en supprimant les termes qui se détruisent, à
^1 ^\ \ y%^^ • • • ^1 / yn
dt
Or chacun des deux facteurs qui composent ce produit est diflerent de zéro, par hypothèse.
120. Soient Xij . . ., x„ le système de solutions indépendantes dont nous venons de démontrer l'existence, et
Çj rz: C j a:, -h . . . -+- C'n Xm
Kn — G j Xj H- . . . H- CJJ Xn
un autre système de n solutions. Le déterminant
est évidemment égal au produit du déterminant des solutions X| , . . . , a?A par celui des coefficients C.
Il est donc nécessaire et suffisant, pour que les solutions iit - • •) i/i soient indépendantes, que le déterminant des C ne soit pas nul.
SMl en est ainsi, ^i, ..., Xn^ et par suite toutes les solutions de 1 équation différentielle, seront des fonctions linéaires de
121. Soient d'ailleurs Ç|, ^2, ..., ^„ un système quelconque de solutions indépendantes de l'équation (8); on aura
dt'' dt''
Pi
df"
dt'
TROISIÈMB PARTIB. — CHAPITRE If.
Ces équations permettront d'exprimer les coefficients />! , . , ,, pn en fonction de Si , . . . , Ç^ et de leurs dérivées.
