On peut remarquer que la condition

exprime la condition nécessaire et suffisante pour qu'il n'existe entre les fonctions Xx^ • . • « ^n aucune relation linéaire à coefficients constants, telle que

«1 JTi -h . . . -r «n Xn ^= O

En eflet, s'il existait une relation de ce genre, on obtiendrait, en la difTérentiant,

Œ,Xl

et, en éliminant les paramètres a,, . . ., a;,, il viendrait

Réciproquement, si ce déterminant est nul, jti, ^29 •-•) x,i seront n solutions particulières de l'équation linéaire d'ordre n — i

tnO.

On aura donc, en désignant par X|, . . ., \n-î des solutions indépendantes de cette équation, et par C',, . . ., C^.,

ÉQUATIONS LINÉAIRES. l53

des constantes,

a?i := Lij X| -4-, . . -H L«;j j X|,i,

Éliminant X| y •••) ^/t-i entre ces équations, on en déduira une relation linéaire entre X|, . . ., Xn»

123. Si Ton connaît k solutions indépendantes X|, . . . , or^ de l'équation linéaire sans second membre

on pourra ramener son intégration à celle d'une équation linéaire d'ordre n — Ar, suivie de k quadratures. Posons en effet

a? = \ C{Xiy

les C désignant k nouvelles variables, liées entre elles par les A: — I relations

(lo) y GiXi=o, \ Cix'i=o, ..., y C[x^'^ = o. On aura, en tenant compte de ces relations,

puis

X — 1*1, •••> ^ — **/»— A'-hi»

Fr désignant une fonction linéaire de C| , • • . , Ca et de leurs

dérivées jusqu'à l'ordre r.

Substituant ces valeurs dans Téquation proposée, on aura

un résultat de la forme

G désignant une fonction linéaire de C|, • . ., Ca et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n — k-hi- D'ailleurs, l'équation étant satisfaite en supposant Cf, .'., Ca constants, les termes qui contiennent ces quantités disparaîtront, et G ne

l54 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

contiendra que les dérivées C, , . . . , Gj^ et leurs dérivées successives jusqu'à l'ordre n — k.

Cela posé, on peut tirer des équations (lo) les valeurs de Cj, ..., Cj^ en fonction de C',. Substituant ces valeurs, ainsi que leurs dérivées, dans G, on aura pour déterminer C^ une équation linéaire d'ordre n — A".

Cette équation intégrée^ on aura C, , . . ., C';^, et l'on en déduira C{, . . . , Ca par quadratures.

124. Supposons, par exemple, qu'on connaisse une solution particulière x^ de l'équation du second ordre

x' 4- pix' -\-pxX ■=, o.

Posons a; = Cf^t ; nous obtiendrons l'équation transformée

C'i a?! 4- (2 J?i -»- yOiari)C', =r o OU

Cj ix\

et, en intégrant,

logC'j = — 2 loga:, — 1 Pidt -h const,

et enfin

X r=: AX* 1 h t) J7,,

 et B étant des constantes arbitraires.