Revenons à l'équation sans second membre
(l4) X'* -h PiX'^-^ -h p^X'^-^-^- . . ,-hpnX = 0.
Multiplions-]a par une fonction indéterminée jk et intégrons. Il viendra, en appliquant aux termes qui contiennent les dérivées de jr, l'intégration par parties
4- (— 0'*/^[/" — (/^iv)«-» H- (/?,/)'•-* --... -f- (— I )»/?„/] cf^ == const.
l56 TROISIÈMR PARTIE. — CHAPITRE II.
Si la fonction^ est une solution de Téquation linéaire
(l5) j«-(^,j)«-i-+-(/7,j)»-*-...H-(--i)«/,„j:zz0,
l'intégrale disparaîtra de la formule précédente, et l'on aura, pour déterminer x, une équation linéaire d'ordre n — i, contenant une constante arbitraire.
Si Ton connaît k solutions^!, . . .,^a de l'équation (ï5), on obtiendra, en posant successivement^ =^< » • • •? J^ =J^*i k équations linéaires d'ordre n — i en x. Éliminant entre ces équations les dérivées ^""S . . ., a;""*"'"*, on aura, pour déterminer vT, une équation linéaire d'ordre n — A", contenant k constantes arbitraires.
L'équation (i5) se nomme Yéquation adjointe de l'équation (i4)* Il est clair que réciproquement l'équation (i4) est adjointe à l'équation (i 5).
127. On aurait pu arriver à l'équation adjointe (i5)en remplaçant l'équation primitive (i4) par le système d'équations du premier ordre
dt
dx''-^
dx ITt
qui lui est équivalent.
Ce système a pour adjoint le suivant :
dt dt
dX ,M-i
dt
ÉQUATIONS LIIIÉÀIRIS. 167
On peut aisément éliminer X"*"*, . . ., X entre ces équations. Il suffira de les difTérentier respectivement n — i fois, n — a fois, etc., et de retrancher la somme des équations de rang impair de celle des équations de rang pair; il viendra
équation qui ne diffère de (i5) que par la notation.
IL — Équations linéaires à coelficients constants.
128. Une équation linéaire à coefficients constants el sans second membre
d" X rf**"* X
peut être mise sous la forme symbolique
Fj?=:o où
chaque facteur symbolique D représentant une dérivation. 1S9. Soit
une autre opération analogue à F (6, fr|, . . •, fr^ étant des constantes comme a, ai, . . . , a/i).
Effectuons successivement ces deux opérations; Topération résultante sera
Cette expression est la même que l'on obtiendrait en multipliant les deux polynômes F et G comme si D représentait une quantité et non un symbole de dérivation. L'opération
l58 TROISIÈME PAETIE. — CHAPITRE II.
résultante sera donc indépendante de l'ordre des deux opérations F et G et pourra être représentée indifTéremment par FG ou par GF.
D'ailleurs, une opération quelconque de l'espèce considérée, effectuée sur une quantité identiquement nulle, donne un résultat nul. Donc l'équation
0 = FGjCir::GFa?
admet comme solutions celles des équations
Far =: o, G^=rO.
130. Soient donc 54, 52, ... les racines de Véquation caractéristique
o = F = aD'»-haiD'*-* + . . .-ha^,
p,«, [JL3, ... leurs ordres de multiplicité. L'équation difTérentielle
o — Fj7 =(D — sCl^x (D — s^Y*, ,,x=^o admettra comme solutions celles des équations
(D — 5,)l*tj?=io, (D — 5,)!*fa7 = o,
Il est aisé de trouver ces dernières. Posons, en effet,
On aura
(D — Sx)x^=iSx e*t*y 4- c*i' D/ — s^ e*i'/
et en répétant cette opération
Pour que le second membre soit nul, il faut et il suffit que j^ soit un poljnôme arbitraire de degré [jli — i.
Réunissant les solutions particulières ainsi trouvées, on
fiQUATIONS LINÉAIRES. 1C9
voit que l'équation
Fj7 = 0
admet la solution
oii P|, Pa, ... sont des polynômes arbitraires de degrés
Cette solution contient |X| -f- [J^a -+-•••= ^ constantes arbitraires. Ce sera donc la solution générale, si elle ne peut s'annuler que lorsque toutes ces constantes sont nulles. Nous allons prouver qu'il en es*t ainsi.
En eflet, supposons qu'on ait
Pie*i'-hPje'.'-h... = o.
Posons
On aura
o = H(Pie*.'-hP,eV4-...) = H(P,e^.')- Mais on a, d'autre part,
(D — 50»*»(PiC'«0=o.
Or les polynômes (D — 5|)ï*i et H étant premiers entre eux, on pourra déterminer deux nouveaux polynômes M et N tels
que l'on ait
M(D~5,)i'.-t-NH^i et, par suite,
o =[M(D — 5,)»^. 4- NH](P,eV)=r PieV.
Donc P| doit être identiquement nul. De même pour les autres polynômes P2, ....
131. Si les coefficients a^f ^2, . • . étant réels, l'équation caractéristique F = o a des racines imaginaires, la solution générale que nous venons d'obtenir renfermera des imaginaires; mais il est aisé de les faire disparaître.
Soient, en effet, 5^ = a -h ^i, 52= a — ^i un couple de
l6o TEOISIÈKB PàHTIB. — CHAPITRE II.
racines conjuguées, [x leur ordre de multiplicité; nous aurons dans rintégrale générale les deux termes
— e«'[Pi(cosp/-f-i8Înp/)-HP,(cosp/ — tsînp/)] = Qt e« ces p ^ -4- Q, e«' sin p /,
Qi, Qs étant des pol^^nômes de degré p. — i, arbitraires
comme Tétaient P^ et Pj.
132. Connaissant, par ce qui précède, Fintégrale de l'équation sans second membre
(i) Fa? = o,
on obtiendra par des quadratures celle de Téquation à second membre
On sera, d'ailleurs, dispensé de ces quadratures si Ton peut déterminer une solution particulière de cette dernière équation.
Ce cas se présentera si T est un polynôme entier en /,
«*', «P'j . . . , sinyr, cosy^, .... Car en remplaçant les sinus
et cosinus par des exponentielles, T sera une somme de
termes de la forme
ne*',
s désignant une constante et II un polynôme, dont nous désignerons le degré par X.
Nous aurons donc à chercher une solution particulière de l'équation
(3) Fa: = ne".
Les solutions de cette équation satisfont à l'équation
(4) (D — 5)>^+» F^ = (D — 5)>^» De^'z^o qui n'a plus de second membre.
ÉQUÂTIOKS LINÉAIRES. l6l
Deux cas seront à distinguer ici :
1"* Si s àiSève de 5|, $2, '• - •, l'équation (4) a pour intégrale générale
Pe'^H- PieV+ PjcV-f- . . . ,
où P est un polynôme de degré X.
Supprimant les termes qui appartiennent à Tintégrale de Fx = Of on voit que l'équation (3) doit admettre une intégrale particulière de la forme Pe*'.
a" Si 5 = 5|, rinlégrale générale de (4) sera
F, étant un polynôme de degré ixi -f- X.
Supprimant encore les termes qui appartiennent à Tintégraîe de Fx £= o, on voit que Péquation (3) admet une intégrale particulière de la forme /l^iPe*»', où P désigne encore un polynôme de degré X.
La forme de la solution particulière étant assignée dans chaque cas, il restera à déterminer les coefficients du polynôme P. Pour cela on substituera Pc*' (ou /t*«Pe^') à la place de X dans Téquation (3); Tidentification des deux membres donnera un système d'équations linéaires pour calculer les coefficients inconnus.
