Exemple. — Soit à intégrer Téquation

d^x (5) TY -\- m*x = cosnt.

Considérons d'abord Téquation sans second membre

Son équation caractéristique

D*-hm«=:o

admet les deux racines simples di mi. Elle aura donc pour J. — Cours, m. Il

l6a TROISIËMB PARTIE. — GHÀPITRB II.

intégrale générale

Ccos/nâ7+ Gf sin/nâTy

où G, G| sont des constantes arbitraires (des polynômes de degré zéro).

. Revenons à Féquation à second membre (5)

(D* -f- m*)a? = cos nt.

On en déduit

(6) (D*-h/i«)(D«-hm«)a?=z(D«-H/i«)co3/i/ = o,

1° Si n^^m^f cette dernière équation aura pour intégrale générale

A.cosnx -+- A| sinnœ -h Gcosm.r -h Ci sinma?,

où Â, Â|, G, Gf sont des constantes arbitraires. L'équation (5) a donc une intégrale particulière de la forme

A cosno: + A| s'innx.

Substituons cette expression dans (5), il viendra

(— /l'-h m*)(Acoswa7 -H Aj sinnx)=:cosnx,

d'où

L'intégrale générale de (5) sera donc

^ ^ . COS/ÏJ?

G cosmo? -h Cl sinmx h

2® Si n^= m^, les équations (5) et (6) deviennent

(5)' (D«-i-in«) j:=:cosm/,

Getle dernière a pour intégrale générale

(G ■+■ kt) cosm^-H-(G, + Aj/) sinm^

et (5/ admettra une intégrale particulière de la forme

•f (A cosm/ + Aj sinm^).

ÉQUATIONS LIIIÉAIRBS. l63

Celle expression, substituée dans (5)'^ donne

9/n( — Asinm^-4- AiC09/w^)= cosm^, d'où

L'inlégrale générale de (5/ sera donc

^cosm^

C cosmx + Cl siîimx

134. Considérons un sjslème d'équations linéaires à coe(ficienls conslants et sans seconds membres. Nous supposerons, pour fixer ]es idées, que ces équalions soient au nombre de trois. Elles seront de la forme

L, M, . . . désignant des facteurs symboliques lels que

aD"' -4- «I D«-» -f- . . . -4- a,n.

Soit

X — aDï^+aiDl'-M-...,

une autre opération difFérentielle quelconque. On a évidemment

On pourra donc remplacer le système (7) par le système obtenu en multipliant symboliquement une de ses équalions par X et Tajoulanl à une autre, par exemple, par le système

Lj j? -H M, 7 -+- N,js = o,

On peut faire subir au système une autre genre de transformation.

l64 TB0I81ÈHB PARTIE. — CHAPITRE II.

Soît ccf une Douvelle variable définie par la relation

On pourra remplacer le système proposé par le suivant

L a;'-+-(L X H- M )/-4-N 5 = 0, Li a?' ^- ( L, X 4- Mt)7-i-N,5::zro,

Ces deux sortes d'opérations (combinaison des équations données et changements de variables) vont nous permettre d'intégrer le système.

13a. Soit A le déterminant

L, Ml N, L, M, N,

Soient

/ m n il /??! /i,

ses mineurs; 8 leur plus grand commun diviseur.

Multiplions la première équation (^) par 7:) la seconde

par 4y la troisième par -^ et ajoutons; il vient

L/-+-L,/,-hL,/, M/-i-M,/,-h!Sft/,

N/-i-Ni/,4-i\,/,

ou, diaprés les propriétés des mineurs^

On trouvera de même

-;; JF — O.

y = o, gs

ÉQUATIONS LtnfiÀIRES. l65

Donc x^ yj z satisfont à l'équation différentielle unique

dont nous savons déterminer Fintégrale générale. On aura donc, en désignant par^i, s^^ ... les racines de Téquation caractéristique, par [jL|, [jl2, • • • leurs ordres de multiplicité^

^ — QjC'.'-hQjeV-t-...,

P,, Q,, R, étant des polynômes de degré jx, — i; Pj, Q2, Rj des polynômes de degré jXj — 1 , ....

Substituons ces valeurs dans les premiers membres des équations (7) et identifions le résultat à zéro. Nous obtiendrons un certain nombre de relations linéaires entre les coefficienls de ces polynômes, et la solution contiendra autant de constantes arbitraires quMI restera de coefficients indéterminés.

136. Si les équations proposées avaient des seconds membres de la forme

n, n« étant des polynômes de degré ^X, on les ferait disparaître en multipliant les équations données par le facteur symbolique

et Ton serait ramené au problème précédent.

Cette analyse sommaire suffit pour obtenir la solution générale, sauf le cas où A est identiquement nul. Mais pour traiter ce cas exceptionnel, et aussi pour déterminer a priori dans le cas général le nombre des constantes arbitraires, il nous faut serrer la question de plus près.

137. Nous considérerons le système proposé comme d^aiitant plus simple que le degré minimum de ceux des coefficients L, . • . , N3 qui ne sont pas identiquement nuls sera plus petit. Ceci admis, proposons-nous de simplifier progrès-

l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IT.

sivement le système par les opérations indiquées ci-dessus (addition de lignes ou de colonnes).

Soit, pour fixer les idées, M i le coeft:cîent de degré minimum dans le Tableau

L, M, Nt L, M, N,.

Divisant M par M|, on pourra écrire

R étant de degré moindre que M| si M4 ne divise pas M et pouvant être pris égal à M| si M| divise M. Dans le premier cas, le système