L-XL, M-XM,=irR N-XN, L, M4 Ni
L, Ms N,
sera plus simple que le proposé. Dans le cas contraire, il aura deux coefficients égaux à la seconde colonne.
On pourra de même, ou simplifier le système, ou le remplacer par un autre, où I\i2 soit remplacé par M|. On obtiendra ainsi un système de la forme
l; m, Ni.
Si l'un des coefficients L', N', L| , N| , L'a, N^ n'est pas divisible par M|, on pourra simplifier le système (par des additions de colonnes). Sinon on pourra rendre V et N' égaux à M|.
Nous sommes ainsi parvenu à un système où tous les coefficients sont des multiples du premier.
Soit généralement
A AjA A,A
Ba B,a B,a Ca CiA CjA,
ÉQUATIONS LINÉAIIIBS. 167
un semblable système. Par des soustractions de lignes, puis de colonnes, on pourra faire disparaître les coefficients de la première ligne et de la première colonne, sauf le premier, et Ton obtiendra un système de la forme
o Cj A C'jA.
Si B'^, Bj, C, , Cj ne sont pas nuls à la fois, on pourra de même remplacer le Tableau partiel
par un autre, oii le premier coefficient sera un multiple de A, tel que AAi; le second et le troisième seront nuls, et le dernier sera un multiple de AA|tel que AA| As*
Le Tableau est ainsi ramené à la forme canonique
o AA, o o o AAjAj.
Une partie des transformations que nous avons fait subir au Tableau sont dues à des changements de variables. Soient i, Tj, ^ les dernières variables indépendantes adoptées. Elles seront définies indépendamment les unes des autres par les équations linéaires
(8) A{==o AA,71zi=o, AA,A,Ç = o.
Le nombre des constantes arbitraires sera égal à la somme des degrés des polynômes A, Ax\i , AA| A2 ou au degré de leur produit. Or ce produit est égal à A, car les additions de lignes ou de colonnes ne changent pas le déterminant.
On voit aisément qu'elles laissent également inaltérés : 1^ le plus grand commun diviseur 8| des mineurs du premier
l68 TROISIÈME TAHTIB. — CHAPITRE II.
ordre, le plus grand commun diviseur S2 des mineurs du second ordre, etc. Or, sur la forme rédi.ite du Tableau, on a
A:=rA«A;A„
Ces équations permettraient de déterminer a priori A, A,, A2 à l'inspection du Tableau primitif.
138. Si le premier coefficient A se réduit à une constante, la première équation (8) ne sera plus une équation dilTérentielle, mais donnera ^ == o. Si A| se réduit aussi à une constante, on aura de même r\ t= 0, etc.
Enfin, si A est nul, un ou plusieurs coefficients A, A|, Aa seront nuls. Soit par exemple A2=o. Les deux premières équations (8) détermineront encore ^, yi; mais la dernière devenant identique, la fonction !^ restera arbitra ri.
139. On peut ramener aux équations à coefïicients constants les équations linéaires de la forme
(9) («^ + P)«^-^«i(«^-HPr-*^^4-...H-««^ = 0.
Posons en effet
a^-hp .(?«,
d'où
ftdt-
du\
on
aura
dv
dt
ae-
^dx du'
d}x dt^
ae~
,dx du
^dx
-htf
,^d*x du^
en géni
éral,
— a*tf-
Pf, désignant une fonction linéaire à coefficients constants
éqcàtio?(s linéaires. 169
de 77-» •••» ^-* ^^ effet, si cette proposition est établie
pour le nombre X:, elle sera encore vraie pour A: -4- i ; car on aura
. — «Ar+l ^— « 2.
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura pour déterminer x en fonction de u une équation linéaire à coefBcients constants.
Si Inéquation caractéristique correspondante a ses racines inégales, l'intégrale générale sera de la forme
S'il y a des racines multiples, à chacune d'elles, 5|, correspondra comme solution une expression de la forme
