Considérons une équation linéaire sans second

membre

dont les coefficients soient uniformes en / et n'aient que des points critiques isolés.

Nous avons vu (119) que la forme générale de ses intégrales est la suivante

où C|, ...,0/1 sont des constantes, et j?r, • . ., x„ un système quelconque de n intégrales indépendantes. Nous savons

170 TROISlIUlB PARTIE. — €I1APITRR If.

en outre (92) que ces intégrales n*ont pas d'autres points critiques que ceux des fonctions p^^ • . . , p^.

Cherchons comment se comportent ces intégrales lorsque la variable indépendante t tourne autour d'un de ces points critiques, que, pour plus de simplicité, nous supposerons situé à l'origine des coordonnées.

L'intégrale considérée x varie avec f , mais sans cesser de satisfaire à l'équation différentielle. Lorsque t revient à sa valeur initiale, pi, . - , pn reprenant également leurs valeurs initiales, l'équation différentielle redevient ce qu'elle était primitivement; et l'intégrale transformée, devant satisfaire à celte équation, sera de la forme

En particulier, soit Xi l'une quelconque des intégrales indépendantes â?], • ' *, x„] elle sera transformée en une expression de la forme

de telle sorte que la rotation de t autour de l'origine aura pour résultat de faire subir aux intégrales x^, . . ., Xn une substitution linéaire telle que

J? I Cj I Xi -}- . . . —îr Cifi Xfi

Le déterminant des coefïicients c sera d'ailleurs différent de zéro; car, s'il était nul, les intégrales transformées seraient liées par une relation linéaire, qui continuerait d'avoir lieu en faisant rétrograder t en sens contraire de son mouvement primitif. La même relation subsisterait donc entre les intégrales primitives x,, ..., x„^ contrairement à l'hypothèse faite, que ces intégrales sont indépendantes.