Soit

UD autre système quelconque d'intégrales indépendantes. La substitution S, opérée sur les x^ remplacera les^ par d'autres fonctions linéaires des x^ ou, comme les x s'expriment linéairement au moyen des y, par des fonctions linéaires des j^.

La rotation autour de l'origine aura donc également pour effet de faire subir aux y une substitution linéaire. Nous pouvons nous proposer de profiter de l'indétermination des coefBcients a pour simplifier le plus possible l'expression de cette substitution.

Cherchons tout d'abord s'il existe quelque intégrale

qui se reproduise multipliée par un facteur constante. Il faut pour cela qu'on ait

d^où les équations de condition

Ciiai-l-{c„— 5)a,4-

\ Cin^i-^ Cina^-h . . .-^ (Cnn — S)^„--0.

Les coefficients a,, ..., a,, ne pouvant être nuls à la fois, il faudra que le déterminant caractéristique

CnX

Cn%

Cin

Ctn

Cnn

Ar=

s'annule.

Supposons d'abord que l'équation A = o ait n racines inégales j|, ..., Sn> Soit Si l'une d'elles. En la substituant dans les équations (i) elles deviendront compatibles et détermineront les rapports des coefficients a. Il existera donc

TROISIÈXE PAtTIB. — CHAPITBB II.

une fonctionnel* qui se reproduira multipliée par 5/. D^ailleurs les n fonctions y^^ " -^ya ainsi obtenues sont indépendan tes ; car, si elles étaient liées par une relation

la môme relation devant subsister constamment entre leurs transformées, on aurait, en faisant faire n — i révolutions successives autour de Torigine à la variable t^

C\Si J, 4- ... -h CnSn y'n — O, >

équations incompatibles, car le déterminant

n^est pas nul, .f|, ^2, ..., s,, étant inégaux; et, d'autre part, les intégrales c^y^y . . . , c,, V/i ne peuvent être toutes nulles. Donc, en choisissant yi^ ..., y» comme système d'intégrales indépendantes, la substitution S prendra la fovnie très simple

yn ^ny»

142. Si nous avions choisi un autre système quelconque dUntégrales indépendantes, tel que j|, ..., z„f la substitution S aurait pris une forme telle que

^n «/Il ^1 ■+"••• ~H d„fi Z„

ytj " "tya deviendraient des fonctions linéaires de S| , . . . , ^s^, lesquelles se reproduisent respectivement multipliées par

tQUATIONS LINfiAIRBS. 178

Ces miillipHcateurs devront satisfaire à Téquation

«H — s Cl II ... Mfli

Cette équation doit donc être identique à Téquation A = o, qui a les mêmes racines. On voit donc que les coeflicients de Téqualion en s ne dépendant pas du choix des intégrales indépendantes : ce sont des invariants.

143. Les résultats sont un peu plus compliqués lorsque l'équation en ^ a des racines égales. Nous allons établir la proposition suivante :

On peut toujours trouver un système d* intégrales indépendantes formant une ou plusieurs séries ^i , . . . , y„t \ y\i • • •> ym'^ ' • • ^^^^^^ Çf^ s remplace les intégrales d'une même série, y i , . . . , y^, . . . , y m respectivement par Siy^j . . . , *i(j|i-*-J'|jL-i ), . . . , */0'//* + J'/«-i), Si étant une racine de l'équation caractéristique.

Ce théorème étant supposé établi pour les substitutions à moins de n variables, nous allons démontrer qu^il subsiste pour une substitution San variables.

Soit Si une des racines de l'équation caractéristique. Il existe une intégrale y que S multiplie par St, En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives X| , S prendra la forme

X2, . . ., X^ étant des fonctions linéaires de x^, '. -, x,ty et aura pour déterminant caractéristique

à! désignant le déterminant caractéristique de la substitution

O -^^ I Xj, • • • } J?a Aj, • • • ) A/i j«

■ 74 TROISlfeMB PARTIS. — CHAPITRR If.

Nous pourrons par hypothèse changer de variables, de manière à mettre S' sous la forme

Si'y\ sc{y\

ym-\)

OÙ .v/, ^i", . . . sont des raciaes de A'=: o.

Ce même changement de variables, opéré sur S, la réduira à la forme

Srz:

Si y

•^/ r, -hX,7,

y \y • • • » j'/rt'

Changeons de variables en posant

Vk 4- a* V = Yi S remplacera Y| , . . ., Y;t, . . . par

*/(/*+ n-i) ■+- X;tr 4- a*fir = 5i(Y*-H Y^,) -H (Xj^.^,

en posant, pour abréger,

^l4- «1(5, — 5,) = JX,,

La substitution S aura donc conservé sa forme générale; mais on peut disposer des indéterminées ai , . . . , a^t, . . . de manière à annuler tous les coefRcients [x si ^1^5/, tous ces coeflGcienls, sauf le premier p.|, si S\ = si.

Nous pourrons faire disparaître de même les coefficients V (sauf le premier, si 5|V=^ S\).

Nous pouvons ainsi ramener S à une forme telle que la

tQOATIONS UNtAIKBS.

sQirante :

•^lY, H- fAij, ..., 5i(Y 5jY',+ ixj;', .. ., .ç,(Y;

• > ^iC^i

i44. Supposons que, parmi les coeflGcienls p.|, [x'^, ... que contient encore cette expression, il en existe au moins deux {ii et p.'f qui ne soient pas nuls, et soit, pour fixer les idées, m'^ni. Prenons pour intégrales indépendantes, à la place de Y', , . . ., YJ;,-, les suivantes :

Yi-^Y*=U*.

S remplacera évidemment U| , . . ., Ua, . • • par

de telle sorte que le terme ^^y aura disparu.

On pourra ainsi faire disparaître tous les termes en y^ sauf un seul, tel que (X|^.

Supposons donc que ^^^.,. soient nuls. Si [Ai<o, on

n'aura qu'à poser

l*i7 = *iYo

pour ramener S à la forme canonique cherchée

^iYq» ^i(Y,

Yo> Yj,

Si {X| était nul, S aurait déjà 4a forme demandée, la première série de variables étant formée de la seule variable y.

176 ÎROlSlftHB PARTIE. ^ CflAPlTRB II.

145. La substitution S étant ramenée à la forme canonique que nous venons d^indiquer, soient j^oï^d •••>J'* «ne des séries formées par les nouvelles intégrales auxquelles elle est rapportée ; 5 la racine correspondante de Péquatlon A ^ o.

Proposons-nous de déterminer la forme générale de ces intégrales.

Posons, pour abréger, — ^.log^ = r et faisons

les z étant de nouvelles inconnues. Lorsqu'on tourne autour de l'origine, V" se reproduit multiplié par e*'^''*=5; donc les z devront subir l'altération suivante :

I ^Q% • • • I -^Ar, • • • -^0» • • • » ^k~^ ^fc-X !•

Pour trouver la forme générale des fonctions qui jouissent de celte propriété, nous remarquerons que la fonction

— .\os^t s'accroît de l'unité par une rotation autour de l'ori-

gtue. Si donc nous posons

^^-^•*^^'' •••' ^*- T^^Tjt '

cette rotation changera 0| en Of + i et, plus généralement, 0, en

(e,-Hi)e,...(e,— A:-h2)

^ ê » m fC

-Ar + i)

itPIlJIII

1 W\i Al Cl LJ

Wi4-. ..

Zii=z

e^l/fl

Uq, Ui^ ,,.y Uk étant de nouvelles fonctions. Pour que Zq^ . . .,

EQUATIONS LINÉAIRES. I77

Zk subissent la transformation demandée par une rotation autour de l'origine, il sera nécessaire et suffisant que Uq^ . . ., itj^ restent invariables.

On obtiendra donc, en remplaçant les fonctions Of, . . ., 0^ par leurs valeurs en r, pour les intégrales cherchées jKo? • • -i Vf,, des expressions de la forme

r, =r(M,log/-i-NO,

Mo, Mf, ..., N|, ... étant des fonctions monodromes aux environs de Torigine. Ces fonctions s'expriment, d^ailleurs, linéairement au moyen des k + i fonctions distinctes Wq? • • •> um. En particulier, les fonctions Mo, M|, . .., M^ de la première colonne ne diffèrent que par des facteurs constants.

146. Les fonctions monodromes Mq, M|, N^, ... seront développables en série suivant les puissances positives et négatives de /. Si la série des puissances négatives est limitée pour toutes les fonctions qui figurent dans une des intégrales ci-dessus, cette intégrale sera dite régulière aux environs du point ^ = o.

11 est intéressant de reconnaître dans quel cas l'équation proposée admet un système d'intégrales indépendantes toutes régulières. M. Fuchs a établi à cet égard le théorème suivant :

Pour que l'équation

ad nielle n intégrales indépendantes régulières aux empirons du point / 3= o, il faut et il suffit que, pour chacun des coefficients de U équation, tel que pi^ le point l = o soit un point ordinaire, ou un pôle dont V ordre de multiplicité ne surpasse pas /.

J. — Coûts, (11. 13

TROISltOIE PARTIE. — CHAPITRE II.

Démontrons d^abord que cette condition est nécessaire. Il est manifeste, en premier lieu : i^ que toute expression régulière, telle que

r(Mlog'i-hNlog'-'r

a une dérivée

r(-(Mlog'^-f-...-hR)

m iog'-« t

M'iog'/-*-...")

également régulière; a° que tout produit d'expressions régulières est une expression régulière.

Si donc les intégrales j^i , . . ., j^,j d'une équation d'ordre ri sont régulières, les coefficients de l'équation, mi^e sous la l'orme

Xi •

seront des sommes d'expressions régulières, telles que (a) ^{M log't -j- . . .) H- ^''' (Ml log't < 4- . . . ) ■+-

D'ailleurs, lorsque t tourne autour de l'origine, j^i, . . .,^'/i subissant une substitution linéaire, leurs dérivées d'un ordre quelconque subissant la même substitution, les coefficients, qui sont des déterminants formés avec ces quantités, se reproduiront multipliés par le déterminant 8 de la substitution.

Or, pour qu'une expression de la forme (a) jouisse de cette propriété, il faut manifestement que les logarithmes disparaissent et que les exposants r, ri , . . ne diffèrent de la

quantité — :log8 = ^ que de nombres entiers. Les coefficients de l'équation seront donc de la forme ^PP, P étant une fonction de la même espèce que M, M|, . . ., c'est-à-dire ayant un point ordinaire ou un pôle au point t = o.

Si maintenant nous divisons l'équation par le coefficient

de la plus haute dérivée, t? disparaîtra et il viendra

^P'dU^'-^"^P-;r''

les coeflicients/>i, ' • », pn étant des quotients de fonctions pour lesquelles ^ = o est un point ordinaire ou un pôle, et jouissant évidemment de la même propriété.

Il reste à montrer que Tordre de multiplicité du pôle ^ = o pour le coefficient/?! ne peut surpasser i.