Posons à cet effet
( étant une nouvelle variable et T une fonction de C qui soit de la forme
T:=:CfP-hCirf^»-f-....
Nous obtiendrons une équation transformée
, ûf«~«Ç n(n — i)
dl^ t/^«-l 2
ou, en divisant par T,
d^ dL''
T Id^
Si Téquation primitive a ses intégrales régulières, il en sera de même de cette nouvelle équation, dont les intégrales s^obtiennent en multipliant les précédentes par Tex pression régulière
= =t-?{d'{-dil-^,,,).
D'autre part, / = o étant un pôle d'ordre i pour 777»
l8o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. *
d'ordre 2 pour -=9 • • •> on voit que, si ce point est un pôle
d'ordre k au plus par rapport à chaque coefficient pjt de l'équation primitive, la même propriété subsistera pour l'équation transformée.
Réciproquement, si Téquation transformée jouit de cette propriété, l'équation primitive, qui s'en d4duit par la substitution
s ^^^^ rjp ^y
la possédera également.
II suffira donc, pour établir le théorème pour Péquation primitive, de le démontrer pour l'équation transformée.
Cela posé, il résulte de l'analyse du n^ 145 que l'équation en X admet nécessairement au moins une intégrale ^'0 = ^''M^ dépourvue de logarithmes. Cette intégrale étant régulière, par hypothèse, sera de la forme (3). En la prenant pour T, la transformée en ^, admettant comme intégrale la constante 1 , ne contiendra pas de terme en Ç et se réduira à la forme
Posant -^- = i', on aura l'équation d'ordre n — i
dont les intégrales, étant les dérivées de celles de la précédente, seront encore régulières. Si donc le théorème est supposé vrai pour les équations d'ordre n — i, ^=0 sera un pôle d'ordre k au plus pour q/^. Le théorème sera donc vrai pour l'équation en Ç et pour Téquatiou primitive en x.
11 suffit donc d'établir le théorème pour les équations du premier ordre. Or soit
dx
al '^
ÉQUATIONS LUfÉAIRBS. l8l
une semblable équation^ si elle admet une intégrale régulière, elle sera de la forme
Or, si ^ = o est pour/7i un pôle dont Tordre [a de mullîplicité soit >• I, de telle sorte qu'on ait
et qu'on substitue pour jr une valeur de la forme T, le résultat de la substitution contiendra un terme act~^'^'' de degré moindre que tous les autres et qui ne pourra se réduire avec eux*, donc il ne pourra pas exister d'intégrale régulière.
148. Réciproquement, nous allons établir que toute équation diflérentielle qui satisfait aux conditions énoncées a n intégrales régulières.
Multiplions Téquation par t" ; il viendra
dt"^
dt^-^
dr-'-
L'origine étant, par hypothèse, un point ordinaire pour les fonctions/?! ty p±t^j . . ., on pourra écrire
p^C'^b^-\- bit'}- b^t'-^
Soit p, un rayon de convergence commun à ces séries; OB aura
M désignant une constante.
Si nous substituons dans le premier membre de l'équation proposée la valeur x = r, nous obtiendrons le résultat suivant
l8a TROIgitHB PÂRTB. — CBÀPITEJB II.
en posant, pour abréger, r(r — i). ..(r— /n-i)H-aor(r — i)...{r — /i-f-a)
a,nr{r — i). , .{r ^ n '\' 2)
-h ^mr(r — i). . .(r — /i -h 3) -h. . .= <p„j(r).
En substituant la valeur
on obtiendrait évidemment comme résultat d^ #)4>
Nous nommerons équation déterminante Téquation de
degré n
Groupons ses racines en séries, en réunissant ensemble loutes celles dont la différence est nulle ou égale à un entier réel. Nous allons démontrer qu'à chaque série contenant m racines correspondent m intégrales régulières de l'équation.
149. Admettons, pour fixer les idées, que nous ayons une série contenant quatre racines, dont deux égales à a et deux égales à a + {, i désignant un entier positif. Nous allons obtenir une intégrale régulière de la forme suivante
l iT — > t^^V-{c^^C^\0gt)
i f \ I Smd»
ÉQUATIONS LINtAIRBS* l83
dans laquelle quatre des coefficients c resteront arbitraires, ce qui donne bien quatre intégrales particulières distinctes.
Substituons en effet la valeur précédente dans Téquatio.n proposée, et égalons à zéro les coefficients des termes en
^«^i*log'/, ^=»^l*log«/, ^«+H-log/, f^-»-»*;
il viendra
F (=^-Hix)cl4-?,(« F (a-hîJL)c;-f-9,(a
F(»-»-f^)<^{jL-H?i(a -+-F'(»H-{i)c;j,-h'f',(a
wF'(a-4-fx)c;-V?'(a -t-F^(a^Ht)cJ+cp7(a
H-<Pi(a-h p. —
i4-<pî(a-h{x-
-HJJL —
,-h<p,(a-f-îx-
OcJU
i-4-©;(a-hp.-
-4^fx-
i-H<p,(a-hfx
-f-jx
-hix —
-2)C{jL-2^..
-+-cp;(a-h|x —
Dans les deux premières équations, on aura à donner à |jl toutes les valeurs de f à oo , dans les deux dernières toutes les valeurs de o à oo ; d'ailleurs les séries qui forment les premiers membres se limiteront d'elles-mêmes, ceux des coefficients (f^ c'" dont l'indice serait < i et ceux des coefficients c, c' dont rindice serait <C o étant identiquement nuls.
Pour toute valeur de pi supérieure à /, F(a -}- |x) étant ^ o^ ces équations donneront 4? 4' ^i^^ ^v- ^^ ionction des coefficients d'indice moindre. Pour p- = t les deux premières équations deviennent identiques, car elles se réduisent à
et a 4- £ étant racine double de l'équation déterminante, F(a-h i) et F'(a 4- *) s'annulent; mais F'' (a + f) étant ^o, les deux dernières équations détermineront cj, c].
l84 TROISIÈME PARTUS. — CHAPITRE II.
Si / >• [X > o, il ne reste plus que deux équations qui déterminent c'^, Cul en fonction des coefficients précédents. Enfin^ pour [x = o, ces équations deviennent identiques. La détermination des coefficients peut donc toujours se faire, et il en reste qualre arbitraires, à savoir c'^^ Ci^ cj^, Cq.
ISO. Il reste toutefois à prouver la convergence de la série obtenue. Pour l'établir, nous remarquerons que F(a-l-tjL) étant un polj^uôme en [x d'ordre n les valeurs de cJJ, . . . , c^ en fonction des coefficients précédents fournies par les équations (5), lorsque ix]> /, seront delà forme
H- Pl/.v?;. (^ H- ;x - À ) -t- . . . H- P3A-v?x(« + f^ — ^)'\<^l-\ fA 1- I, 2, . . ., ;x, vi=o, 1,2,3),
PoAv) • • • 9 PsvA étant des fonctions rationnelles en [jl, dont le dénominateur estd^in degré au moins égal à celui du numérateur (et dont quelques-unes sont nulles).
Nous obtiendrons évidemment une limite supérieure du module des coefficients cherchés en remplaçant les (onctions P, <px(a -H Y- — ^)) ^^^'1 et enfin les coefficients cji x par des limites supérieures de leurs modules.
Or les fonctions P tendant pour [a = oo vers des limites déterminées, leurs modules seront constamment inférieurs à une quantité fixe 0|.
Nous obtiendrons, d'autre part, une limite supérieure du module de l'expression
— ax(a H- |A — >.)(3t 4- (X— X — i) . . . (a -h jA— X — n -f- 2) -i- b\{oL -{' [i. — X)(a 4- (X — X — i) . . . (a -h [JL — X — n-\-Z)
en remplaçant a)., bx^ . . . par la limite supérieure de leurs
modules -y et les facteurs a + [x — A, ... par | a | -[- u -|- n.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. lS5
On trouvera ainsi
pX
O2 désignant une quantité limitée.
Le même procédé donnera
pA pA
pA
et, par suite,
'*i">,V [XpA «* -■
fi désignant une quantité fixe.
O'ite formule n'est établie que pour les coefficients dont rindice inférieur surpasse i; mais, les précédents étant en nombre limité, on pourra toujours prendre B assez grand pour qu'elle soit encore satisfaite pour ceux-ci.
Faisons successivement Xr =3= o, 1,2, 3, ajoutons et multiplions par aV-y enfin posons, pour abréger,
pl*([cji| 4- 1 c;, I 4- c;i I 4- I cjl I) — f/j^; il viendra
et, en changeant [x en [x -|- i ,
l86 TROISlfcMB PARTIS. — CUAPITRS II.
et, en continuant ainsi,
En posant m = oo , la série entre parenthèses est convergente, pourvu qu'on ait pris [X ^ 4^} les quantités ûfoi ^1} •••) d^j . . . sont donc toutes inférieures à une limite finie N. A fortiori, chacune des quantités
restera <C N; donc la série (4) sera convergente dans un cercle de rayon p.
151. Si la valeur de cj déduite des équations (5) s'annule (il faut pour cela qu'un certain déterminant, qu'il serait facile d'écrire, soit égal à zéro), tous les coefficients c"', qui s'expriment linéairement en fonction de celui-là, s*annuleront également, de sorte que tous les termes en log*^ disparaîtront de l'expression (4).
Si l'on a en outre c*- = o, les termes en log^t disparaîtront aussi; mais, c^ et c\ étanl arbitraires, il restera toujours des termes en log^.
Pour que les logarithmes pussent disparaître entièrement de l'intégrale, il serait évidemment nécessaire que la série de racines que nous avons considérée ne contînt que des racines simples.
Remarquons enfin qu'il peut se faire que les racines de l'équation déterminante soient des entiers positifs et que les intégrales ne contiennent pas de logarithmes. Dans ce cas, le point ^ = o ne sera pas un point critique pour les intégrales.
Ainsi l'équation
dx où m est supposé entier et positif, a pour équation détermi*
fiQUATIOMS LINÉAIRES. 187
nante
/' — mz= o
et son intégrale sera de la forme
152. Nous venons d'établir que, lorsque l'équation difTérentielle proposée a toutes ses intégrales régulières, on peut les obtenir par la méthode des coefficients indéterminés. Sachant d'ailleurs que, lorsque t tourne autour de Torigine, f se reproduit multiplié par e^"^' et log^ se change en log^ + 2TC{, on voit aisément, par la comparaison des développements obtenus, quelle est la substitution que celte rotation fait subir aux intégrales.
i53. La question se présente moins simplement dans le cas général où l'équation différentielle admet des intégrales irrégulières, car on ne peut les obtenir par la méthode des coefficients indéterminés. On peut employer dans ce cas le procédé suivant :
Traçons trois cercles K, R', K" se croisant à l'origine {/ig» i) et d'un rayon assez petit pour ne contenir aucun des autres points critiques. Soient a, a', a' les centres de ces cercles.
Soit, d'autre part, X|, . . ., X;, un système de n intégrales indépendantes. On peut supposer que chacune d'elles est définie par la valeur qu'elle prend, ainsi que ses n — i pre-
l88 TROISibVE PARTIR. — CnAPITRK If.
filières dérivées en un point t =^b pris à volonté dans le cercle K.
Tant que t^ partant de cette valeur Initiale, restera compris dans le cercle K, l'intégrale générale de l'équalion sera de la forme c^X\-\- , , .-\' CnXn\ x^^ ...,^/, étant des séries convergentes procédant suivant les puissances de / — a ctC|, ' * » j c„ des constantes. On aura donc, tant que / restera dans ce cercle,
(6) Xi^zCitXi-\-. . .-hCniXn-
En exprimant que le second membre de cette égalité et ses n — I premières dérivées prennent au point b les valeurs qui définissent X/, on aura un système d'équations linéaires qui détermineront les coefficients c.
Supposons que t sorte de ce cercle pour entrer dans le cercle suivant K'. Dans ce second cercle les intégrales sont développables suivant les puissances de ^ — a' et auront pour forme générale
y,, y-fi étant des séries, qu'il est aisé de calculer parla
méthode des coefficients indéterminés. On aura donc, en particulier,
(7) X/ = diiVi -î- . . . +- d„i Yn
et ce nouveau développement fera connaître la valeur dcX/ dans tout l'intérieur du cercle K', lorsque les coefficients diij . . ., dfii seront connus.
Pour les déterminer, il suffit de remarquer que, dans la partie commune aux deux cercles, les deux développements (6) et (7) étant valables à la fois, on aura
01 par une série de dérivations successives
CiiX\ -\--. .n~C„fX',^ '-^duy\ -T- '^-^daty'nt >
En donnant à t une valeur particulière arbitrairement choisie dans cette région commune, on obtiendra un système d^équations linéaires qui donnera les coefficients d.
Si t passe du cercle K! dans le troisième cercle R*, X|, ..., X;, y seront donnés par de nouveaux développements
suivant les puissances de / — a'^; ^|. . . . ^ z„ étant des séries aisées à établir, et en, . . ., Cni des coefficients qu'on déterminera au moyen de l'équation
et de ses dérivées, en donnant à t une valeur comprise dacs la région commune à K' et à K'.
Enfin, si tj achevant sa révolution autour de Torigine, sort du cercle K'' pour rentrer dans le cercle K, on aura dans ce nouveau cercle
les coefficients /se déterminant encore de même.
En comparant ces valeurs finales de X|, . . ., X^ à leurs valeurs initiales (6), on voit que la substitution produite sur les intégrales par une révolution de t autour de l'origine sera
I X/ gu^X + . . . -h gni^n I ,
les constantes g étant déterminées par les équations linéaires
Cette substitution étant connue, on la ramènera aisément à la forme canonique en changeant le système d'intégrales distinctes que Ton considère.
Les nouvelles intégrales formeront une ou plusieurs séries. Soit (Yo, . . , Ya) l'une de ces séries. Ces intégrales auront
igO TROISlitMB PARTIE. — CHAPITRE 11.
(145) la forme suivante :
Tout est connu dans ces développemeols, sauf les fonctions monodromes Uq^ • • • » </a« Mais, en chaque point de la région occupée par les cercles K, K', K*^, on connaît par les développements précédents la valeur numérique des intégrales X| , . . . , X„ et par suite celle des intégrales Y^ , . . . , Ya. Les équations (8) permettent d'en déduire celle de Uq, . . ., Uk- Le théorème de Laurent (t. II, n^ 326) fournira dès lors les coefficients des séries, procédant suivant les puissances positives et négatives de t, qui représentent ces fonctions.
154. Des considérations analogues à celles qui viennent d'être exposées permettront d'intégrer par des séries toute équation linéaire qui n*a qu'un nombre limité de points critiques.
Soit, en effet, F = o une semblable équation. Il nous sera
permis de supposer, pour plus de simplicité, que £ = oc est
un point ordinaire; car, s'il en était autrement, soient ^i,
t2f . • • les points critiques situés à distance finie; 6 un autre
point quelconque ; posons
L'équation transformée en u admettra évidemment pour points critiques le point u = o, correspondant à ^ = oo , et
les points Ui == r» «2= ■; y » • • • correspondant à ^1,
^2, ... ; mais e/ = 00 , correspondant à ^ = 6, sera un point ordinaire.
Cette hypothèse admise, traçons un cercle K enveloppant tous les points critiques /|, ^27 • • • ? ^i* ^ l'extérieur de ce cercle l'intégrale générale aura la forme
(9) c,ar,-h...4-c„a?«
fiQCÀTIONS LINÉAIRES. IQI
X|, ..., jTrt étant des séries qui procèdent suivant les puissances de -■•
Il est clair, d*autre part, qu'on pourra toujours recouvrir l*intérieur de K et les portions voisines de la région extérieure au moyen d'un nombre limité de cercles Ki^K2, . . . , dont chacun peut passer par un ou plusieurs points critiques, mais n'en contient aucun dans son intérieur, tout autre point situé sur K ou dans son intérieur étant au contraire intérieur à l'un au moins de ces cercles K4, K2, ....
Soient K^ l'un quelconque de ces cercles, Um son centre. Dans l'intérieur de ce cercle, l'intégrale générale aura la forme
(10) Cf„ i x,„ I -+■ . . . 4-»C
mn '«'w/i
Xm 1 9 • • • « ^mn étant des séries procédant suivant les puissances
Traçons maintenant une série de coupures L|, L2) ••allant de chacun des points critiques ^1, ^29 ••• jusqu'à Tinfini. Tant que / ne traversera aucune de ces coupures, les intégrales de Téquation resteront monodromes. Soit X| , . . ., X|, un système quelconque d'intégrales indépendantes. Chacune déciles sera définie en un point quelconque par Tun ou l'autre des développements (9) ou (10) parmi lesquels il y en a au moins un de convergent. Les coefficients c qui figurent dans ce développement pourront d'ailleurs se déterminer comme au n** 153. La valeur de ces intégrales sera donc connue en chaque point du plan coupé.
D'ailleurs, lorsque t tourne autour d'un des points critiques, ces intégrales subissent une substitution linéaire que nous savons déterminer. Supposons donc que t se rende de la valeur initiale to à une valeur finale quelconque T. Pour obtenir la valeur finale des intégrales X|, . . ., X;,, il suffira de réduire le chemin parcouru par la variable à une série de lacets A', . . . suivis d'un chemin A qui ne traverse plus les coupures. Lorsque t reviendra au point de départ /q après
îg2 TROISIÈME PÀBTIE. — CIUPI TUE II.
avoir dëcrît le lacet A, les intégrales auront subi une subslitution linéaire connue S; le lacet A' leur fera subir une seconde substitution S', elc. L'ensemble des lacets A, A',... successivement décrits leur fera doue subir la substitution résultante SS' . . . , de telle sorte que les intégrales auront passé de leurs valeurs initiales X|, . . . , X,^ à des valeurs finales X'^ , . . . , X^^ de la forme
A/~~ A|/^l -T-. . . -f- Art/ A;,.
Lorsque t décrira ensuite la ligne A, ces expressions varieront et prendront en T les valeurs suivantes
A, /H, -h ... 4- A„lA„y
Si , . . . , S/1 étant les valeurs finales de X i , . . . , X^y lesquelles sont données sous l'orme de séries, ainsi que nous Tavons vu. On peut donc déterminer a priori la valeur finale d'une intégrale quelconque lorsque la variable t décrit une ligne donnée, sans être obligé de calculer la série des valeurs successives par lesquelles elle passe, pour les points intermédiaires.
155. La méthode précédente est susceptible de nombreuses modifications, si Ton admet, pour représenter les fonctions intégrales, d'autres développements que ceux qui sont fournis par la série de Taylor. Supposons, par exemple, que, parmi les points critiques, il y en ait aux environs desquels les intégrales soient régulières. On pourra évidemment substituer à quelques-uns des cercles dont nous nous sommes servis des cercles décrits autour de ces points critiques (pourvu qu'ils ne contiennent dans leur intérieur aucun autre point critique); car on connaît un développement des intégrales dans ces cercles, et cela suffit.
On peut encore, dans beaucoup de cas, transformer l'éqiraijon difiérentielle par un changement de variable
Z — S(W), d'où U=:^{t).
Soit a un point ordinaire de l'équation transformée : ou
ÉQUATIONS LIMfiAIRBS. ig3
aura un développement de ses intégrales suivant les puissances de u — a, lequel sera convergent tant que le module de ££ — a sera moindre qu'une constante donnée r. Les intégrales de Téquation primitive admettront un développement correspondant suivant les puissances de ^(^) — ^(ûs), valable dans toute la région du plan où
lequel développement pourra être utilisé au besoin.
156. Nous avons vu que, lorsque la variable t revient à sa valeur initiale t^^ après avoir décrit un contour fermé quelconque, les intégrales X|, ..., X^ subissent une substitution linéaire. Considérons Tensemble de ces substitutions S, S', ... correspondant aux divers contours fermés possibles K, K', Il est clair que, si S, S', ... sont deux de
ces substitutions, correspondant respectivement aux contours K, K', on obtiendra, en décrivant successivement ces deux contours, un nouveau contour fermé KR' auquel correspondra la substitution SS', résultante des deux premières. Cette dernière substitution fera donc elle-même partie de la suite S, S', . . ..
On dit qu'une suite de substitutions forme un groupe lorsqu'elle jouit de cette dernière propriété.
Nous appellerons groupe de l'équation différentielle
celui qui est formé par l'ensemble des substitutions S, S',
Toutes ces substitutions résultent évidemment de la com • binaison successive des substitutions correspondantes aux lacets relatifs aux divers points critiques.
157. La notion de ce groupe est d'une grande importance dans toutes les questions qui se rattachent à Tétudc des équations qui nous occupent. Nous allons, par exemple, montrer comment on peut reconnaître, à l'inspection du groupe de l'équation différentielle
J. — Cours, III. i3
si elle* est réductible ou non, c'est-à-dire si elle admet ou non des solutions communes avec une autre équation
^^'dt^'^'i'-dP^^ -+.... -H ^,„a; = o
à coefficients uniformes, où m^/i.
Formons les dérivées successives de G 5 il viendra
dG d'^-^^x d"^x , d"^-^x
'di "" Ir^ "^ ^* 'dt^ "^ ^* 'di^^^ "^
dt"-"' "~ "dF "^ ^* ûf^'»-»
et, en tirant de ces équations les valeurs de -rpn^ •••> -^
pour les substituer dans F, il viendra
A|, . . ., Art TO étant des fonctions uniformes de t, et Gi une
^ . ,. , . 1 d'"~^x dx , fp • .
fonction linéaire de ^tt^jit' '" ^ 'di^ ^^ ^ coethcients uniformes en /.
Les solutions communes à F = o, G = o sont évidemment les mêmes que les solutions communes à G = o, G| = o.
Donc, si Gi est identiquement nul, Téquation F= o admettra toutes les intégrales de G, et son premier membre sera une fonction linéaire de G et de ses dérivées.
Si Gf n*est pas identiquement nul, mais ne contient aucune des dérivées de x, on n^aura G< = o qu'en posant X =: o. En dehors de cette solution évidente, les équations F= o, G = o n'auront aucune intégrale commune.
d X Enfin, si G| = Bq -^r^ 4-. • .+ B;t^, B© n'étant pas nul,
on pourra opérer sur les équations
0 = 0, g-Gi = o,
ÊQUÀTIOKS LINÉAIRES. igS
comme sur les équations primitives, et en déduire une nouvelle équation Ga=o, à laquelle les solutions communes devront encore satisfaire.
En poursuivant cette série d'opérations, toutes semblables à celles du plus grand commun diviseur, on arrivera évidemment à ce résultat *
Si deux équations linéaires F = o, G = o, à coefficients uniformes, ont des intégrales communes, on pourra déterminer une équation de même espèce H = o, ayant pour intégrales ces solutions communes; et F, G seront desfonctions linéaires de H et de ses dérivées.
Donc, si Téquation F=o est réductible, il existera une équation d'ordre moindre, H = o, dont elle admet toutes les intégrales.
158. Cela posé, soient X^, ..., X„ un système quelconque d'intégrales indépendantes de F=o, Yi, ..., Y;,, un système d'intégrales indépendantes de H := o. Les intégrales de cette dernière équation auront pour forme générale
et se permuteront les unes dans les autres lorsque t décrit un contour fermé quelconque. D'ailleurs Y|, ..., Y;„, étant des intégrales de F=o, seront des fonctions linéaires de
Donc, si F=o est réductible, on pourra déterminer des fonctions linéaires Yi, . . ., Y m des intégrales X|, . . . , X/,, eu nombre <^n ei telles que les fonctions du faisceau
Cl Y 1 -f- . . . -h Cffi Y ;,,
soient exclusivement permutées les unes dans les autres par toutes les substitutions du groupe de l'équation F= o.
Nous exprimerons, pour abréger, cette propriété du groupe de l'équation en disant qu'il n'est ^diS primaire.
Réciproquement, si le groupe de l'équation F= o n'est
196 TROISlbnB PARTIE. — CHAPITRE II.
pas primaire, Téquation sera réductible. En eflet, les intégrales Y|, . . . , Y m satisfont à l'équation d'ordre m
dx
dt
dont les coefficients sont monodromes (après qu'on a divisé par le coefficient du premier terme). En effet, faisons décrire à < un contour fermé quelconque. Les fonctions Y|, . . . , Y m étant transformées en des fonctions linéaires de Y, , . . . , Y,„, les déterminants qui forment les coefficients de Téquation se reproduiront multipliés par le déterminant de la transformation. Leurs rapports reprendront donc la même valeur.
Pour reconnaître si l'équation F= o est irréductible, nous n'aurons donc qu'à chercher si son groupe F est primaire.
139. Soient S, S', ... les substitutions relatives aux divers points critiques, et dont la combinaison reproduit F. Si chacune d'elles multiplie toutes les intégrales par un même facteur constant, il est clair que toutes les substitutions de F jouiront de cette même propriété et que ce groupe ne sera pas primaire.
Supposons au contraire que, parmi les substitutions S, S', . . . , il en existe au moins une S qui ne multiplie pas toutes les intégrales par un même facteur. Prenons à la place de X|, . . . , X« un autre système d*intégrales indépendantes, choisi de manière à ramener S à la forme canonique. Supposons, pour fixer les idées, que l'équation caractéristique pour cette substitution ait deux racines a, b\ qu'à la racinea correspondent quatre séries d'intégrales, dont trois contiennent k intégrales et la quatrième / intégrales, / étant <^A', et qu'à la racine b corresponde une seule série de
ÉQUATIONS LIKfiAIRES. 197
MDtégrales; la forme canonique de S sera la suivante : î
Ji, 7j, ...,7* «(ri -H/t), «(72 -+-73 ),..., «J* 7i» 7i» • • • » 7i: «(7i -+-72)» «(7i -+-7» )» • • • » «7*
S= 7u 7i> • • • » 7a «(7'i +72)' «(7i -^/i)' • • • » «7'i 5,, 5,, . . ., 5/ a(x;i ^-Zj ), a(5| 4- 5j ), . . ., a^/
Soit
Yi=û^i7i-+-^î7j4-...-I-^;7', 4-. ..-+-<?, X7iH-...-+-/,ai -+-... 4- /|W/
une intégrale quelconque. Effectuons sur cette expression les transformations S, S', .... Nous» obtiendrons de nouvelles expressions de la forme
oùD|, D2, ..., F/ sont des fonctions linéaires de rfi, d^j ...»//.
Si parmi ces expressions il en est qui ne soient pas linéairement distinctes de celles qui les précèdent lorsque û^i, 6^2? • • .5/1 restent indéterminés, on pourra les supprimer cl transformer de nouveau celles qui restent par les subslilulions S, S', .... Parmi ces transformées on supprimera celles qui ne sont pas distinctes, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu^une nouvelle transformation ne donne plus aucune expression distincte de celles obtenues précédemment. Cette suite d'opérations est nécessairement limitée, car toutes les fonctions obtenues sont linéaires par rapport aux produits en nombre limité qu'on peut former en multipliant les intégrales 7< ,727 • • • î w/ par les arbitraires di, d/j, . . . , //.
Soient Y|, Ya, ... les diverses fonctions ainsi obtenues. 11 est clair que toute substitution de F transforme les unes dans les autres les fonctions
du faisceau <^ formé avec ces fonctions.
