Y'' — SY' - 6Y
où Dj, D',, D^ ont encore conservé leurs valeurs primitives, mais où le terme en U2 disparaîtra.
Continuant ainsi, on voit que $ contiendra une fonction de la forme
Z = D,7, H- D'ij; 4- D',/, -h 5, r, -^ . . . 4- 61 Ci -h . . . H- 1/«/,
d'où les ;/ ont enlièrement disparu.
Il contiendra encore la fonction
d'où X4, yi-»>'o ^< ^^^ disparu. Il contiendra de même la fonction
z'z= 1 sz'-z'=: D,7,+ D;y3 4- D;7;-h. . .4- E,i;,-î-. . ..
Continuant ainsi, on voit que 0 contient la fonction
Donc» quelle que soit l'intégrale initiale Y|, il existe dans le faisceau ^, dérivé de ses transformées, une intégrale f de la forme plus simple
Prenons pour point de départ cette nouvelle intégrale et formons le faisceau <b' dérivé de ses transformées, lequel fait évidemment partie du faisceau 4>.
Les fonctions qu'il contient seront de la forme
20O TROISiftMB PARTIE. — CHAPITRE If.
OÙ les coefficients D^, . . ., F/ sonl linéaires et homogènes en rf, rf', (P. D'ailleurs, de toute fonction de celte forme contenue dans ^' on déduira, comme on vient de le voir, une fonction correspondante
également contenue dans ^'.
Formons successivement les diverses fonctions de celte dernière sorte qui sont contenues dans <!>', en supprimant à mesure qu'on les obtient toutes celles qui ne sont pas linéairement distinctes des précédentes, même lorsque d^ d\ d" restent indéterminés. Il restera un nombre limité de fonctions
?o= dyf, H- d'y\ 4- rfV* = ?»
dont toutes les autres sont des combinaisons linéaires.
Soit (poe Tune quelconque de ces fondions. Les coefficients Da; D^, D'^ seront de la forme
Da=::A d-^V d'^Vd",
de telle sorte qu'on aura (7a désignant la substitution
<^a= 7* ^'7*^-^'i7*+^î7i Les opérations a- satisfont à l'équation sjrmbolique
OÙ Coy . • • , C{t sont des constantes.
ÉQUATIONS LINÉAIHBS. aOI
En eOet, puisque de l'existence de la fonction f dans le faisceau 4^ on déduit l'existence dans ce même faisceau des transformées tr^^ et o-^cp, on déduira de Texistence de cette dernière fonction celle de la fonction ^a^p^* Cette fonction, ne dépendant d'ailleurs que des variables JK*»^'*j J'i> sera de la forme
162. Cela posé, considérons le groupe y dérivé des substitutions 0*0, . . ., (Tjjt entre les trois variables ^*, y^^, y\» Il est clair que le faisceau résultant de la combinaison des fonctions ^7 Pi9 . . • , fpt se confondra avec le faisceau déduit des transformées de ^ par les diverses substitutions de y.
Le groupe y contenant moins de variables que le groupe F primitivement considéré, nous pouvons évidemment supposer que nous sachions reconnaître s'il est ou non primaire.
1® Si Y n'est pas primaire, nous pouvons assigner aux coefficients rf, rf', (P de la fonction ç un système de valeurs tel que le nombre des fonctions ç, cpi, . . ., cpj,. qui restent encore distinctes dans cette hypothèse soit moindre que celui des variables j^/tj^'J^jj'J. Dans ce cas F ne sera p.is primaire. En effet, supposons, par exemple, qu'il resle deux fonctions distinctes; soient
^.\ — d,yh-\-d!^yk'^rd\y\=o^{yj,,yk,y\)-
Considérons le faisceau 4>' dérivé des transformées de o par les diverses substitutions de F. Soit
une quelconque des fonctions qu'il contient. No as avons vu que ce faisceau contenait la fonction
I>i7*-^-I>'iV',.-t-D;/^, laquelle doit être une combinaison linéaire de '^ et de ^ |. On
aoa TROISIÈME PARTIE. — CDAPITRE II.
aura donc
c, Ci étant des constantes.
Les intégrales ^<, y\^y\ ne figurant dans ^ que par les
deux combinaisons ?(7i,y,,r<) ^^ ?«(7«?yi»y«)> '« nombre des fonctions linéairement distinctes dont ^' dépend sera moindre que n. Donc F n'est pas primaire.
2** Si le groupe y est primaire, de quelque manière qu'on choisisse rf, et, (F ^ la suite cp, <pi, ..., '^^ contiendra toujours trois fonctions distinctes, f, fi, f^; et chacune des intégrales yk^ y\y y\ dont elles dépendent, y^ par exemple, pourra s'exprimer linéairement en fonction de f, (pi, (p^* Elle appartiendra donc au faisceau ^'.
Formons maintenant les transformées successives de va par les diverses substitutions de F.
Cette intégrale étant entièrement déterminée, il n'y aura aucune difficulté à reconnaître combien le faisceau O*^, dérivé de ses transformées, contient de fonctions distinctes; si ce nombre est inférieur à /i, F ne sera pas primaire; dans le cas contraire il sera primaire.
Soient, en efiet,
un faisceau quelconque d'intégrales que les substitutions de F transforment les unes dans les autres; Y| l'une de ces intégrales. Le faisceau W contiendra le faisceau $ déduit des transformées 'de Y| ; dans celui-ci existe une intégrale y de la forme (n)) dont la combinaison avec ses transformées donne Tinlégrale j^a» Donc W contient cette intégrale et ses transformées, parmi lesquelles il y en a n linéairement distinctes.
163. Une seconde application de la notion du groupe nous sera fournie par la recherche des intégrales algébriques que peut offrir une équation linéaire.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2o3
Soit F = G une équation d^ordfe /i, admettant des intégrales algébriques. II est clair que, si t décrit un contour fermé quelconque, ces intégrales, restant toujours algébriques, se transformeront les unes dans les autres. Soient donc X|, . . ., Xm celles de ces intégrales qui sont linéairement distinctes; les intégrales algébriques cherchées auront pour forme générale
Cl J?i -4- . . . H- C/ii Xfn
et seront les solutions d'une équation linéaire d'ordre m
dx dt
d'^x dt"'
à coefficients uniformes, après division par le coefficient du
d"^ X terme en — ; — • Si donc F est une équation irréductible,
on aura m = rij et les équations F = o, G ^^ o se confondront.
164. Étudions les équations, telles que G, à coefficients uniformes, et dont toutes les intégrales sont algébriques. Leurs coefficients, étant des fonctions algébriques- et uniformes, seront des fonctions rationnelles.
D'ailleurs, aux environs de chaque point critique, les intégrales seront régulières. Considérons, en effet, un point critique quelconque a. Une intégrale quelconque Xq sera
développable suivant les puissances croissantes de (^ — a)^, p étant un entier convenable.
Soit
Xo=:CaLit—a)P-hC^{t—a)f'^. .
ce développement. Groupons ensemble tous les termes dont
ao4 TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE II.
les exposants ne diffèrent que de nombres entiers; on pourra
écrire
Uaj Ufii • • • étant des séries qui procèdent suivant les puissances entières de / — a.
Si l'on fait décrire à ^ un lacet autour du point a une fois, deux fois, etc., on obtiendra de nouvelles intégrales
sri=z ^^^ {C — a)P Ua-\- ^-^{t — a)P u^-h . . . ,
en posant, pour abréger,
îiri
Résolvant ces équations par rapport à
{t — a)PUay {t~a)Pu^, ...,
on voit que ces quantités s'expriment linéairement en jCq? j^i, ... : ce sont donc des intégrales; d'ailleurs elles sont manifestement régulières.
On voit de même que les intégrales seront régulières pour
163. Ce premier résultat nous donne déjà quelque lumière sur la forme des équations cherchées. En effet, d'après le n° 146, chacun des points critiques ^i, ..., ^|i devant être un pôle d'ordre k tout au plus pour le coeffi-
cient de r.„t j^ > l'équation aura nécessairement la forme
(i"».r Ml d'^-^x Mj t/'«-»^ M;„
dt"' T dt"'-' T« dl^"-^ T'« '
T désignant le produit (t — /,)...(/ — l^^) et M|, M2, ... étant des fonctions entières.
ÉQUATIONS LINÉAIRES. ao5
Il reste encore à exprimer que les intégrales sont régulières aux environs de ^ = oo. A cet effet, posons
on a
dx
d'où
, du
dt — -y
dx
—r = — «*' -r- > dt du
d}x ^ d ( ' ^dx\ .d^x
dt
et généralement d'^x
dx du
dt''
du''
dt''- •
tk-i
fik-l
dt''-''
Ok /i-i, aA,*-2> • • • étant des entiers, dont le premier est égal à k{k — i); car on voit sans peine que cette formule, étant
d^x supposée vraie pour -r-j > sera encore vraie pour la dérivée
suivante.
Substituant ces valeurs des dérivées dans Téquation proposée, et divisant par ( — i)'"m^'", on aura Téquation transformée
du
d/'"-^ X du"'-^
Ml I
«/n-i,m-j rp- -^ M, J
rf"*-* X
du'"-*
où il ne restera plus qu'à substituer t= - dansT, M|, Ma, ....
Le point M == o doit être un pôle d'ordre i , a, ... au plus
d^~^ X d'^~* X pour les coefficients des dérivées , ^^-} , ^^^ > — • • Il faut
et il suffit pour cela que -7^ y 7^5» ••• soient développables
ao6 TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE II.
suivant les puissances croissantes de ii et commencent respectivement par des termes de degrés i, 2, .... Mais on a
z= aï* -h Cl Mi*+*-|-. ...
On devra donc avoir
di dt
wi*~» al*
Mi= -léî -+- -nh +...= e/i^ï*-* -hd^t^'* +...,
Donc, Ml, ..., M;t, ... sont des polynômes entiers en /, de degrés au plus égaux à (jl — i , . . ., k([L — 1),
166. Il est aisé d'établir que la somme des racines des équations déterminantes relatives aux points critiques /|, . . .,
, , , , .mim — i) /ji., 00 est égale a ( [jl — i ) -' .
En eOet, Téquation déterminante relative au point ti sera évidemment
Mî(^) / X , Ov
-+- jîfpk /-(r — i). . .(/• — m -^ 3) 4-. . . = 0
et la somme de ses racines sera
D'autre part, Téquation déterminante relative au point t = co sera
-^ (^m,m -i — di) r{r -- i) . . ,{r -- m -h 2) -h.. . = 0,
fiQUATIONS LINÉAIRES. 207
et la somme de ses racines sera
.m(m — i) , m(m — i) «m, m-i -h ai = h di .
La somme totale des racines de ces équations sera donc
car on a, d'après une formule connue de la décomposition des fonctions rationnelles,
M,(fa I M,(0 T'(^,) t-tt- T(0"'
tl'où, en mulliplianl par t et posant / = oo,
167. Nous venons d'obtenir la forme générale des équations dont les intégrales sont partout régulières^ mais il s'en faut de beaucoup que toutes les équations de ce genre aient leurs intégrales algébriques. Pour qu'il en soit ainsi, un second caractère est nécessaire : il faut que le groupe de l'équation ne contienne qu'un nombre fini de substitutions.
En effet, chacune des substitutions du groupe est définie par le système des fonctions dans lesquelles elle transforme les intégrales indépendantes Xi, ..., Xm] mais chacune de ces intégrales, étant algébrique, n'a qu'un nombre fini de transformées distinctes; le nombre des substitutions distinctes est donc fini.
Réciproquement, toute équation à intégrales régulières, dont le groupe ne contient qu'un nombre fini de substitutions, a toutes ses intégrales algébriques.
En effet, soient Xt une quelconque de ces intégrales^ X2^ ' . . ses transformées par les substitutions du groupe. Toute fonction symétrique de ces transformées étant évi-
demment uniforme, x^ sera racine de Tëquation
dont les coefficients sont uniformes
Considérons d'ailleurs un point critique quelconque f|. On aura aux environs de ce point un système d'intégrales distinctes dont les développements auront la forme
Uq, . . ., Uft étant monodromes aux environs de /(.
Mais, pour qu'une expression de ce genre n'admette qu'un nombre limité de transformées distinctes lorsqu'on tourne autour de ^i, il faut évidemment : i® que les logarithmes disparaissent, 2^ que r soit rationnel. On aura donc un système d'intégrales distinctes
OÙ Tf, /'a, ... sont des fractions rationnelles.
Soit p le plus petit multiple de leurs dénominateurs. Les intégrales ^i, ^j, ... seront développables suivant les puis-
sances entières et croissantes de (t — t^Y; et il en sera de même de Xt^ a'a, ... qui s'expriment linéairement en Ç|, isi '•'. Le point t^ sera donc un point critique algébrique pour chacune des intégrales ^i, ^2, ... et, par suite, pour les coefficients de l'équatioa (i3). Mais ces coefficients sont uniformes; donc t^ sera un pôle (ou un point ordinaire) pour chacun d'eux.
On verra de même que 00 est un pôle ou un point ordinaire pour ces coefficients.
Les coefficients de l'équation (i3) élanl uniformes et n'ayant d'autres points critiques que des pôles, même à l'infini, seront des fractions rationnelles, et ^4, ^j, ... seront des fonctions algébriques.
Si donc on savait déterminer tous les groupes formés d'un nombre fini de substitutions entre m variables, on con-
ÉQUATIONS LINÉAIRES. SOQ
naîtrait par là même les divers types possibles d'équations linéaires d'ordre m à intégrales algébriques, et il suffirait, pour reconnaître si une équation donnée appartient à cette catégorie, de chercher à identifier son groupe avec Tun de ceux dont on aurait dressé le tableau.
Le problème arithmétique de la construction des groupes d'un nombre fini de substitutions, auquel la question se trouve ainsi ramenée, n'est résolu d'une manière complète que pour m = 2 ou 3. On a toutefois démontré que, pour une valeur quelconque de m, le nombre de ces groupes est limité, et l'on en a déduit ce théorème :
Si V équation G = o, (Tordre m, a toutes ses intégrales algébriques, elle admettra un système d'intégrales distinctes Xij . . . , Xm de la forme
p étant un entier et Uj, Uo, . . . étant des fonctions rationnelles de t et d'une irrationnelle u définie par une
équation
dont le degré est limité en fonction de m.
Nous nous bornerons à énoncer ce résultat, dont la démonstration exigerait une exposition détaillée des principes de la théorie des substitutions.
168. Le cas où l'intégrale générale de l'équation G == o est non seulement algébrique, mais rationnelle, mérite une attention particulière. Il est aisé de le reconnaître.
En effet, les intégrales devant n'avoir d'autres points critiques que des pôles, l'équation déterminante relative à Tun quelconque des points critiques de G n'aura que des racines entières, et les développements des intégrales régulières ne contiendront point de logarithmes.
Pour que cette dernière condition soit remplie, il faudra I. — Cours, III. i4
âlO TROISIÈME PARTIS. ~ CHAPITRE II,
tout d'abord qu'aucune des équations délerminantes n'ait de racines multiples (iol).
Supposons qu'il en soit ainsi; soit F(r)==o l'équation déterminante relative au point t^, et soient a, a', a", ... ses racines, rangées par ordre de grandeur croissante. L'intégrale générale aux environs du point t^ sera de la forme
Là L + ^W(^ - /,)^'^i*iog'(^ -/,)+... J •
et, en substituant cette valeur dans l'équation diOerentielle, comme au n" liO, on obtiendra une série d'équations linéaires et homogènes qui détermineront par voie récurrente tous les coefficients c, c', c'', ... en fonction des m coefficients Coi, Ca', Ca/r, . . • qui restent arbitraires. On voit d'ailleurs sans difficulté que tous les coefficients c', c'', ... qui multiplient des termes logarithmiques s'expriment en fonction des m — I coefficients d^i^ c'a», . . . , et que ceux-ci ont des expressions de la forme
Donc, pour que les logarithmes disparaissent, il faut et il
ri« î • I m im — i) , . , ...
suidt qu on ait les — ^^ équations de condition
o^A = B = B' — Cizi....
169. Réciproquement, si l'ensemble des conditions qui précèdent est rempli, l'intégrale générale sera rationnelle. En effet, elle n'a pour points singuliers à distance finie que des pôles. Elle est donc uniforme.
Formons d'ailleurs l'équation déterminante pour t = oo et groupons ses racines en classes en réunissant celles dont les diflerences mutuelles sont entières. Soient p, p', ... les plus petites racines de chaque classe; [x, jjl', ... le nombre (les racines contenues dans leurs classes respectives. Pour des valeurs suffisamment grandes de /, on aura, pour Tinté-
ÉQUATIONS LINÉÂIRRS. ail
grale générale, un développement de la forme
les expressions cp, fi, . . ., f', ... étant des séries procédant suivant les puissances entières et croissantes de --•
Mais, puisque cette expression est uniforme, les logarithmes disparaîtront nécessairement et les exposants p, p\ ••• seront entiers. L''ntégrale générale aura donc un simple pôle à Tin-
P fini; ce sera donc une fonction rationnelle t-t*
On pourra d'ailleurs la déterminer par des opérations purement algébriques. En effet, on connaît, par ce qui précède, la situation des pôles à distance finie et Tordre de multiplicité de chacun d^eux. On pourra donc former le dénominateur Q. Uordre de multiplicité du pôle t = ce étant également connu par le développement obtenu suivant les
puissances de -9 le degré du numérateur P sera déterminé. Pour déterminer ses coefficients, il suffira d'identifier le développement de -^ suivant les puissances de - à celui qu*a fourni Téquation différentielle.
170. Considérons plus généralement, avec M. Halphen, les équations dont les intégrales sont partout régulières et sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient pas le point t^. Les autres points critiques ^3, . . . , /^a des coefficients de l'équation ne pouvant être que des pôles pour rintégrale, les équations déterminantes qui leur correspondent nWront que des racines entières, et les logarithmes disparaîtront des développements correspondants, ce qui
donnera ([jl — i) — ^^ équations de condition, dont
l'existence sera à vérifier.
2ia TROISiftMB PARTIE. — CHAPITRE IL
Lorsque rensemble des conditions précédentes est rempli, on peut trouver l'intégrale générale. En effet, d'après l'analyse du n° 14o, on peut déterminer un s^rstème d'intégrales particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux environs du point t^ les intégrales j^oj •••«^a d'une même série soient de la forme
7, - (/-^,)'-(6,Wo-4-i/t),
J'k— (^ — ^1 )'■ (0* Wo-^ 0^-1 Wi -h . . . -f- Ujt),
Uq^ . . ., lift étant des fonctions monodromes aux environs du point /( , r désignant une racine de Péquation caractéristique qui correspond à ce point et les 6 étant définis par les relations
O,__log(^-^,), ..., o, ——^
Les fonctions z/o» • . • , u/t, définies par les équations précédentes, seront des fractions rationnelles. En effet, les points ^2? • • •) ^(1 étant des points ordinaires pour les fonctions {t — ^0"'' et log(^ — ^, ), et de simples pôles pour }'o, . . .,^A> seront de simples pôles pour i/©, ..., Ufc Donc ces fonctions sont monodromes non seulement aux environs de II, mais dans tout le plan. D'autre part,
log( f - /, ) =1 - log j ■+- log ^ I - M
sont des expressions régulières pour tz=cc'^ il en est de même pour >^o» •••» Tk et, par suite, pour Mo» •••? /U- De ces deux propriétés réunies on déduit que Uq^ •.., um sont
des fractions rationnelles de la forme —, • • • i —>
Ou pourra d'ailleurs les déterminer par des opérations al-
ÉQUATIONS LINÉÀIRB8. 3l3
gébriques. En eOet^ connaissant les pôles t2, •••» V ^^^ ^^' tégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le dénominateur Q. Le développement de l'intégrale générale pour ^ = 00 fera connaître le degré des numérateurs Po, . . ., Pa. Pour obtenir leurs coefficients, il ne restera plus qu'à substituer les expressions précédentes dans l'équation différentielle et à identifier le résultat à zéro.
