Considérons encore les équations de la forme

dt

Pi

dt"'-^

~T~ ... — r~ * //i *^ — Oj

où Po, . . ., P/7* sont des polynômes dont le degré soit au plus égal à celui du premier d'entre eux, Pq.

Lorsque l'intégrale d'une équation de cette forme n'a pour points critiques à dislance finie que des pôles, ce qu'on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes, on pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations suivantes, également dues à M. Halphen.

Remarquons tout d'abord que la condition imposée aux degrés des polynômes P équivaut à dire que les développe-

de t ne contiennent pas de puissances positives. Posons maintenant

R désignant une fraction rationnelle en t. La transformée enjK

ments de ^> •••> Vr^ suivant les puissances décroissantes

dt

mPoR'

PiR

-di^^ — l — ^'^