m — OPiR' 4- P,R

dL"^-'^

sera de la même forme que la primitive en x\ car son intégrale n'a que des singularités polaires, et ses coefficients sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant

ai4 TROISiftMB PARTIS. — CHAPITRE If.

le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, développé suivant les puissances décroissantes de ty commence par un terme en tP^ ses dérivées R', R", . . . commenceront par des termes d'ordre moindre, en tP~*y tP~-^

On en déduit sans peine que les développements des coeflicients de l'équation (après division par PoR) ne contiendront pas de puissances positives de t,

172. Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles /,, ^2, ... de l'intégrale de l'équation (i4) et leurs ordres de multiplicité [jL|, ^2-> • • • •

Posons

{t—txf•^ (^ — /,)I*a...

La transformée en y

^m^Xy

+ Qi-:77;;rT-^---^Q-7 = <^

dt

appartiendra au même type que la primitive; mais ses intégrales n'auront plus de pôles. Posons

La transformée en z (après suppression du facteur commun ti^'^) sera

T 4- ... -h ).'" Qo

dû'

dr'

dt

et appartiendra évidemment encore au même type. Mais on pourra disposer de l'indéterminée X, de manière à annuler le coefficient du terme de degré le plus élevé dans R»,, qui sera dès lors un polynôme de degré moindre que Rq.

i73. Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous rendre compte de la forme des coefficients de l'équation en z.

Soient 6| , O2, ... les racines de Téquation Ro = o ^ on aura par la décomposition en fractions simples , en remarquant que Kk est au plus du même degré que Rq,

les A, B étant des constantes. (En particulier A,^ sera nul.) D'ailleurs chacun des points O/ étant un point ordinaire, aux environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice / ne pourra prendre dans la sommation que les valeurs i, 2,..., A*. L'équation déterminante relative au point O/ sera

r(/' — i). . .(r — m -m) -h B/tir(r — i). . .(r— - m -h 2)

-+-Bi2t^('* — i)'-'{^ — m -h 3)-+-.. ^= o.

La somme de ses racines est

— B/if

D'ailleurs 9/ étant un point ordinaire pour les intégrales, ces racines seront nécessairement entières, non négatives et inégales. Leur somme est donc au moins égale à

2 ' donc B/i I est un entier non positif. A fortiori la somme

étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et non positive.

174. Cela posé, admettons d'abord que Rm ne soit pas nul et prenons pour variable auxiliaire la quantité z'= ~^'

ai6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

L'équation en z pourra s'écrire

Diflférentiant, il viendra

Éliminant z entre ces deux équations, on aura la transformée en s'

RoR,» -^ 4- [(R;4- R,)R,„- RoP^] ^5^

[(R;„,4-Rm)R,«-R;n-iR;„]^'=o.

Cette équation est évidemment du même type que l'équation en z ; et le rapport des deux premiers coefficients, qui

dans l'équation primitive était ^ y sera devenu

(Ro-4-R|)R,„ — RoR'vt Ri . R'o R'wi

Or soient

on aura

KoR/rt Ro Ro R/«

Ro =Co (^ — 0i)*«(^-Ô,)«....,

et de même

Ro ^ — 01 ^ — 0,

R'.. Pt ^ p.

R/n ^ — Ti ^ — T,

La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en z\ sera donc

et sera > S, car Sa, degré de Ro, est supérieur à Sp, degré deR;„.

La dérivée seconde ^ satisfera de même à une équation du même type, mais où la somme S'', analogue à S, sera > S'.

Si Ton pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtiendrait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S^', ... non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut se trouver arrêté qu'en arrivant à une équation où le coefficient du dernier terme soit nul. Supposons que cette circonstance se présente pour Téquation en z^. Cette équation admettra comme intégrale particulière une constante ; et l'équation en z aura pour intégrale correspondante un polynôme n de degré n ; enfin l'équation en j' admettra l'intégrale particulière e^'ll.

Posons maintenant

y = e>''uff,dt.

La nouvelle variable yi satisfait à une équation d'ordre ni — i, et qui, d'après ce qui précède, appartiendra au même type que l'équation en jk. On pourra donc en déterminer une solution, de la forme e^i'Di, IIi désignant un polynôme.

Posant

yi

'U,Jy,di,

on continuera de même, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du premier ordre, dont l'intégrale sera

Cm désignant une constante arbitraire.

Les intégrations indiquées sont d'ailleurs de celles qu'on sait effectuer et fourniront un résultat de la forme

les Wk désignant des polynômes et les Ck des constantes arbitraires.

Divisant cette expression par le produit {t—t^Yx (t — /,)t^. . . ,

ai8 TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE II.

on aura l'intégrale générale de Téqualion en Xj sous la forme

les /a étant des fonctions rationnelles.

175. Réciproquement, toute équation diflférentielle dont rintégrale générale est de cette forme appartient au type que nous avons considéré.

En effet, éliminant les constantes q entre Téquation (i5) et ses dérivées et supprimmt les facteurs communs exponentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels, qu'on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs. Soit

Po-TTTT H-...-hP/«^ = o

cette équation. Son intégrale n*a, à distance finie, que des singularités polaires. Reste à prouver que les degrés de Pj, . . ., Pto ne surpassent pas celui de Pq.

La chose est manifeste pour les équations du premier ordre; car de Téquation

on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l'équation

dx

où le coefficient X -f- > développé suivant les puissances

décroissantes de ^, ne contient pas de puissances positives. Supposons d'ailleurs le théorème établi pour les équations d'ordre m — i . Il sera vrai pour l'équation

qui admet pour intégrale générale

car chaque terme de cette expression est le produit d^une exponentielle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai pour l'équation de degré m

d'^u ^ du

dont rintégrale générale est

et si nous posons

il sera encore vrai (171 et 172) pour la transformée en x. Or celle-ci a précisément pour intégrale générale JlCf,e^i^^//ç{t).

176. La méthode que nous avons indiquée plus baiit pour intégrer par des séries les équations qui n'ont qu'un nombre fini de points critiques peut aisément s'étendre au cas où les coefficients de l'équation, au lieu d'être uniformes en /, sont des fonctions uniformes de t et d'une irrationnelle u, racine d'une équation algébrique /(/, «) =^ o.

En efiet, les points critiques.de Téquation considérée sont de deux sortes : i® ceux aux environs desquels u reste monodrome; a** ceux autour desquels les diverses déterminations {/|, U2f . • • de cette irrationnelle s'échangent les unes dans les autres.

A partir de chaque point critique de cette seconde sorte, traçons une coupure allant jusqu'à l'infini. Tant que t ne traversera pas ces cofupures, W|, Wa» ••• resteront monodromes. Substituant successivement ces diverses fonctions dans l'équation différentielle à la place de u, on obtiendra»

une suite (Inéquations difTérenlielles

Chacune d'elles admettra un système de n intégrales distinctes Xiif ..., x,iij qu'on pourra exprimer par des séries dans la région considérée.

II reste à voir quel changement subissent les intégrales lorsqu'on traverse les coupures. Or, si nous supposons qu'en traversant une d'elles Ui se change en w*, l'équation Fi se changera en F^. f^es intégrales Xu, ..., Xni se changeront donc en intégrales de cette dernière équation, soit eu expressions de la forme

Pour déterminer les coefficients c, on n'aura qu'à égaler les valeurs numériques que prennent les intégrales Xiiy ..., Xfii et leurs n — i premières dérivées en arrivant à ia coupure aux valeurs que prennent Ch ^a-f- . . . -t- C|„a:«*, ... et leurs n — i premières dérivées de l'autre côté de la coupure.

177. Nous terminerons cette section en effectuant quelques applications particulières des principes généraux que nous avons exposés.

Proposons-nous d'étudier les équations linéaires du second ordre à trois points critiques ^o? ^o '2 et à intégrales régu- Hères.

Soit F=:o l'équation proposée. Changeons de variable indépendante en posant

mu -H n

ni' u -^ n'

Soient 6, u deux, valeurs correspondantes de f, u. On voit sans peine qu'on aura, aux environs de ces valeurs, une relation de la forme

ftQUATIONS LINÉAIRES. 22\

(formule où l'on devra remplacer i — 8 ou u — u par - ou -

si B ou u deviennent infinis).

Cette valeur de / — Q| étant substituée dans une fonction entière de t — 0, donnera une fonction entière de u — u. D^autre part, en la substituant dans une fonction régulière de ^ — 8, telle que

(r-e)'-[To-^Tiiog(^-e) + ... + Txlog>(^-o)],

où To, T|, ..., Tx sont des fonctions entières de t — 0, on obtiendra évidemment un résultat de la forme

("-ur[Uo-hU|iog(«-u)+...-hUxiogM«~u)],

Uo, ..., Ux étant des fonctions entières de u — u.

Donc Téquation transformée entre x et u admettra comme points critiques les trois points Uq, </{, ^2 correspondant à ^o> ^o ^2 ; ses intégrales seront régulières aux environs de ces points, et les équations déterminantes relatives à ces points seront les mêmes qu'aux points correspondants de Téquation primitive.

Nous pouvons d'ailleurs disposer des rapports des coefficients m, n, m', n' de manière à donner à Uq, u^, 112 des valeurs arbitrairement choisies. Nous ferons en sorte que ces valeurs soient o, i, 00. Ce résultat pourra évidemment être obtenu de six manières distinctes, suivant qu'on posera «0=0, £/| = I , U2 = co, ou Uo= i ^ Ui = Oj Wj = 00, etc.

178. Soient respectivement X, V; [x, |x' et v, v' les racines des équations déterminantes relatives aux points critiques o, I, 00. Si X — V, [JL — [jl', V — v' ne sont pas entiers, on aura pour les intégrales aux environs de chacun de ces trois points des développements de la forme

c(a — i)t*V-hc'(^/ — i)>'V',

^22 TROISlàMB PIRTIB. — CHAPITRE II.

U, U' étant des fonctions entières de w; V, V des fonctions entières de u — i: W, W des fonctions entières de — • Posons maintenant

y étant une nouvelle variable. Nous aurons entre u eiy une équation transformée H = o, dont les intégrales seront données aux environs des points o, i, oo par les développements

cV, -+-c'(a — i)î*'-l*V;,

Wi + c'— -!— .w;,

les quantités

étant respectivement développables suivant les puissances entières et positives de w, de w — i et de - •

L'équation H = o a donc ses intégrales régulières, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i admettent une racine nulle, la seconde racine étant respectivement X' — X et |jl' — [JL.

Il existe évidemment quatre manières d'arriver à ce résultat; car on peut prendre pour \ une quelconque des deux racines de Téquation déterminante du point o, pour fi une quelconque des deux racines de l'équation déterminante du point I. Sur ces quatre manières, il y en aura une telle que les racines V — \ et |jl' — [x aient leur partie réelle positive (à moins que ces différences ne soient purement imaginaires).

L'équation H == o doit être de la forme

d^y M,(//) dy M,(//) __

du' "^ u(^u—\) du "^ u-{u — \)-^ ■"^' '^

fiQUÀTIOSfS LINÉAIRES. 22^

M|, M2 étant des polynômes de degrés i et 2, et ses équations déterminantes par rapport aux points o et i seront

r{r — i) — Mi(o)r -i-Mj(o) r=o, r(r — i) -h Ml (i) /• -h M,( i ) =: o.

Comme elles ont une racine nulle, M2 devra admettre les racines o et i et sera divisible par u(u — 1). En eOectuant la division et chassant les dénominateurs, l'équation prendra la forme

ou, en remplaçant A, B, C par trois nouvelles constantes a, P, Y définies par les relations

179. Les équations déterminantes relatives aux trois points critiques o, i , 00 sont respectivement

et ont pour racines

o et I — 7, o et Y — « — P> a et p.

L'équation admet donc une intégrale développable aux environs du point o suivant les puissances entières et positives de u.

Soit

cette intégrale. En la substituant dans l'équation et égalant à zéro les termes en «H-, il viendra

[^ jx({x— i) — (a -h p 4- Ofx - a3]c,x

[(fi. -M) {A -H y(I^ -+- 0]C|x+i— O ;

d'où

(•iH-Ji}(H-jx) et, par suite, en donnant à Co, qui reste arbitraire, la valeur i,

F désignant la série hypergéométrique (t. I, n® 170).

180. Cela posé, il existe, comme on Ta vu plus haut, vingtquatre substitutions de la forme

qui transforment l'équation proposée en une équation analogue. L'équation transformée admettra comme solution une série hypergéométrique, et Ton en déduira aisément une intégrale correspondante de l'équation primitive.

A.U système de valeurs o, i, 00 données à u doivent correspondre pour u les mêmes valeurs, mais dans un ordre arbitraire, ce qui donnera, pour la fraction — ; ; > les six

formes suivantes :

A chacune d'elles correspondent quatre équations transformées, qu'on obtiendra en prenant successivement pour X chacune des deux racines de l'équation déterminante du point o, pour p. chacune des racines de l'équation déterminante du point I.

Nous allons donner un exemple du calcul de l'une de ces intégrales.