Soit par exemple u =■ • Pour 1/ = o, i

aura u ■= o, 00, i j Téqualion entremet u aura donc ces trois

ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2a5

points critiques, et les racines des équations déterminantes

correspondant à ces trois points seront comme précédemment

o et I — Y> o et Y — « — P> a et p.

On pourra donc prendre

X rz: o ou I — v, p.i=: a OU p.

Prenons, par exemple,

Les racines des équations déterminantes pour Téquation entre ^ et u seront

Pour o. . . — X =3 Y — I , I — y — X =i o,

Pour 00.. X-H|x:^a-4-i — y> T — « — P-J-X-f-fi— -i— 3,

Pour I... a — H-^^o» ? — l* = P — *•

Si nous posons

Y-i.zri-Y'. p-« = y'-a'-p',

d'où

a'=a-hi — Y, p'i=i — p, y'=2 — Y>

cette équation admettra la solution

L'équation primitive admettra donc la solution

ou, en remplaçant u par sa valeur - et a', P', y' p«r leurs valeurs et supprimant le facteur constant ( — i)Y""°'~*,

y z=z tt«-Y(, - w)T-«-« FJ'a 4- I - Y, i - P» 2 - Y^ "^TZ:^ ) " J. — Coar*, m. iâ

aa6

TROISltoB PARTIE. — CHAPITRE II.

182. On obtient par un procédé tout semblable les vingtquatre intégrales suivantes :

3o Si

F(«,P,Tt«), (,-„)Y-«-PF(Y-a,Y-p,Y,«),

ai-YF(a — Y-hi, p — Y-^i> a — Y» ")»

Mi-Y(i — a)y-«-P F(r — a, I — p, a — Y) «)»

£.»-Y(i-a)Y-a-«F(«-Y-+-', '-P»^-ï»;rzrr)'

F(a, p,a-+-p — Y-^i» ' — «), a»-YF(a — Y + "> P — Y -+"'»*+? — Y + N i — ")»

w-« F(a,a— Y-f-i,a4-P — YH-i> ) >

a-P f(p,P~yh-i,« + P-y + »/-^)'

(i„)Y-«-PF(Y-a, Y-P, Y-«-P + ^ !-«)»

(i— w)Y-*-P«»-YF(î — a, I — p, Y— a — p-hi, i — «),

(i— a)ï-«-Pi/«-YF(i— a, Y — a, Y — a — p-4-i,

(,„)T-«-PmP-tf('i-P. -r-p, T-«-P + «, — „— )

(35) „-«^,-Ly"""'F^a-Y-^■^ i-?,a-p-4-i, j^)

(36) «-PF^p, p-^-Hi, ?^a-M, ly

(37) «-p^,-Ly"""^F(^i-a,Y-^, P-« + i,^)>

""K'- ,^)'^f(p, ï-«> P-« + ^ Til:

(39) «-p(,-Ly" *F(p-T-+-'>'-«>P-« + ^rzr;i)-

183. Coupons le plan suivant la portion de Taxe des x qui s'étend de o à -|- oo. Dans le plan ainsi coupé^ chacun des développements précédents restera monodromc. Pour

achever de les préciser, nous pouvons adopter pour arguments

de tt, I ceux qui sont compris entre o et ai:, pour argu-

ment de i — u celui qui est compris entre — tc et -h tz. Les

puissances de u, i > i — «qui figurent dans les exprès-

sions (i6) à (89) auront des valeurs entièrement déterminées. La région de convergence des développements ci-dessus sera : i° pour ceux où la série hjpergéométrique a Pargument i£ ou i — m, l'intérieur des cercles Co, C| de rayon i décrits autour du point o ou du point i respectivement:

2" pour ceux d'argument — > > l'extérieur de ces mêmes

cercles; 3° pour ceux d'argument > la moitié du plan

située à gauche de la droite x =^ -; ^^ pour ceux d'argument

y la moitié du plan à droite de cette ligne.

Il restera à déterminer les relations linéaires qui lient entre eux ces divers développements dans leurs régions de convergence commune.

Les difTérences des racines des équations déterminantes

328 TROISifcMB PARTIS. — CHAPITRE II.

relatives aux points o, i, oo sont respectivement i — y» Y — a — p, j3 — a. Nous supposerons que parmi ces quantités, il en existe au moins une dont la partie réelle ne soit pas nulle. Les 24 transformations de Téquation de Gauss permettant : 1° de permuter entre eux d*une manière quelconque les points o, i, 00 sans changer les équations déterminantes ; 2° de changer à volonté les signes des différences des racines des équations déterminantes relatives aux points o et i , il nous sera permis d'admettre que f — a — ^ ait sa partie réelle positive. Dans ce cas les séries hjpergéométriques

seront encore convergentes sur la circonférence du cercle Cq et, en particulier, pour u = i elles prendront les valeurs suivantes (t. I, n°» 379 et 382),

r(«-pH-i)r(Y~«-P) r(p-a + i)r(Y-a-p) r(i-p)r(Y-p) ' '- r(i-«)r(Y-a)

Cela posé, désignons par ai j^i ,âE^2les développements (16) et (20), par 6|Z|, 62^9 les développements (32) et (36); et soitx une intégrale quelconque deTéquation de Gauss. On aura dans rintérieur de Go

JC M| «I ~T~ Uj Sfm

Pour trouver la liaison entre les constantes c<, C2, rf|, ^2» nous remarquerons que sur la circonférence elle-même, où les développements restent tous deux convergents, on aura

En particulier, au point m = i, on aura sur le bord supérieur de la coupure

«(jOATIONS LinâAlEES. 329

et, sur le bord inférieur,

d'où les deux relations cherchées

Tirant de ces équations les valeurs de di^ d^ pour les substituer dans Texpression x =^diZi + ^2 '32}

il viendra

Cette expression, convergente en dehors du cercle C©, représentera dans cette région la même intégrale qui, dans rintérieur de Co, était égale à C| j'i H- C2jK2-

184. Il ne reste plus qu'à voir comment les constantes c^ , C2 se modifient à la traversée des coupures qui joignent les points critiques o et i , i et oo.

Si l'on traverse la droite oi (en montant), j^i ne change pas, yt est multiplié par «"^^'Y ; et x = C| jKi H- ^2^2 est changé en CtjTi 4- c^é^^^^^y^' Ainsi c^ ne change pas, et c^ est multiplié par e~*«'Y.

Si l'on traverse la coupure 100 (en montant), dtjd2 seront changés en (40 rf; = <?-««'« é/„ flr,=ie-*«'M,

etC|, C2en deux nouvelles constantes c\ , c^ liées kd'^^d'^ parles

relations

(ia> (c;.^c; = rf; + ^i,

En résolvant les équations linéaires (4o), (40' (4^)) on éliminera les auxiliaires dt, d2^ d'^y cT^ et l'on obtiendra l'expression deCp Cj en fonction linéaire de C|, C2.

Si l'on traversait les coupures en descendant, les coefG-

23o TROISiftMB PARTIE. — CHAPITRR II.

cients C|, Cj subiraient évidemment la transformation inverse de celle qui vient d'être déterminée.

Les coefficients des formules de transformation ne renferment, comme on le voit, que des exponentielles.