L'équation (43) «(,-«)g+[Y-(a+p + l)a]^-a
étant difTérentiée, donnera
-+-[Y-f-i-(«+p + 3)£/]^-(« + i)(P 4-0^=0 ou, en posant -^ =^^
-*-Lï-+-i-(«-+-P + 3)w]^^'-(«-*-i)(P-hi)y=:o.
Cette équation ne diffère de la précédente que par le remplacement de a, p, Y par a + i, ^ + 1,^-+-''
La dérivée -rr^i =^''~' satisfera donc à Téquation
Cette équation, multipliée par wY-»-«-«(i — a)«+P'nr+«-», pourra s'écrire
==(«-h/i — i)(Ph-/i — i) a«-« (i — «)«-* Mj*-",
en posant, pour abréger,
M = ttY->(i — tt)«^-p-r.
ÊQUATIOnS LINÉAIRES. sSl
En la différentiant n — i fois, il viendra
L'application répétée de cette formule de réduction donnera, pour toute valeur de n entière et positive,
( =a(«4-i)..-(a4-/i — i)P(P-M)... (? -f- /i— OM/.
Cette formule est particulièrement intéressante lorsque ^ est un entier négatif — n. L'équation (43) admettra dans ce cas comme solution l'expression
laquelle est un polynôme de degré /i, dont la dérivée n**"* se réduit à la constante
g(g-hï)...(g-H/t — l)30H-l)...(p-h/i— i)
La formule (44) donnera donc dans ce cas particulier
P(«» —'h T, ")= cr-/ — T\ 1 — ; ^ :j-^a'*(i — w)»M
My(7 + i). ..(Y-+-/1 — i) û^W» ^ '
ou, en remplaçant M par sa valeur et changeant a en a -h /t, F(a-+-/i, — n. Y, a)
Le polynôme
€St donc un produit de puissances par une dérivée /i**"*.
aSa TROisiÈiB pàetie. — chapitre II.
186. Les quantités y et ft+ i — v étant supposées positives, les intégrales définies
J„,^„=J i/Y-«(i-«)«-YZ„Z„
du
seront finies et déterminées; elles auront d'ailleurs les valeurs suivantes :
(45) J,„,„ = o, si/n>/i,
(A6\ j =zz ' r(/iH-i)n(Y)r(tt-h/i-v + i)
En efiet, Z;, satisfait à Téquation
"^'~"^17i;^"^f^~^*"^"^"ï'^ 4-/i(/H-a)Z„ = 0, qui peut s'écrire
^ i/Y(i — u)^'^'-yZ'^=—n {n -h a) «^"'(1 — w)«-TZ„.
Multiplions par Z^ et intégrons de o à 1 ; il viendra
/i(/i + «)j,„,„ = - r Z;„e/[aY(i-tt)«^i-Yz;],
OU, en intégrant par parties et remarquant que le terme tout intégré sWnule aux deux limites,
/»(n + a)J^,„=.r wY(i-,/)*+«-YZ;,Z;„rfi£r:=m(mH-a)J^,,;
car le second membre ne change pas si Ton y permute m et n.
On aura donc, si m^n,
Si m = /i, on remarquera que '£'„ satisfait à une équation de même forme que Z^,, sauf le changement de a, /t, y en
a -h 2, n — I, y + i; on aura donc, par un procédé tout semblable,
(/i — i) (n -4- a -h i) r aT(i ~ w)«-»-»-YZ'„Z; du
z=zf ttY+«(i~i/)«+«-Tz;z;rf«.
Continuant ainsi , on aura finalement
X f I4Y+'»-» (i — tt)«+«-YZjz; ûfw.
D^ailleurs
et
ttY+«-> (i — « )a+ »-Y ^e/ == -^-* —r — ^ r^ •
Substituant ces valeurs et remplaçant les factorietles par des quotients de fonctions F, on trouvera la formule (46).
Soit maintenant /(e/) une fonction quelconque, que nous nous proposons de développer en une série de la forme
/(a)=AoZo-hAjZi + ... + A„Z«H-
Un semblable développement étant supposé possible (*), on en déterminera aisément les coefficients. Multiplions en effet les deux membres par aY-<(i — ï/)«"'YZ„ et intégrons de o à I ; il viendra
/(«)«T-«(i-«)«-TZ,rf« = A„J„,
(0 Sar cette possibilité, voir le Mémoire de M. Darboux Sur les fonctions de^rands nombres {Journal de Liouville, 3* série, t. IV, p. 5 et 377).
a34 TROisiÈye partie. — chapitre ii.
ce qui donnera le coefiicient A^ exprimé par une intégrale définie.
187. Les résultats que nous venons de trouver renferment comme cas particuliers ceux qui ont été obtenus précédem* nient pour les fonctions X/, de Legendre. Posons en efict a = Y = I ; nous aurons
