I ~~" OC

et, en posant u = — -^ — > nous obtiendrons le nouveau pol^nôme

188. Considérons comme dernière application Téquation de Bessel

y \ dy f /i'\

r' X dx \ x^)^

dx' Substituons pour jk 1^ série

Il viendra, en égalant à zéro le terme en x^^^^

(r -h a |x -h 2) (r 4- aji -h i) C|i+,

+ (r -+- a ji-i- a) c^^ -t- Cji— n^c^^x = o ; d'où

(r-hajjL-ha)* — /i'

-cj.

(r-h2[A-ha-+-/i)(r-+-ajn-2 — /i) En posant [jl == — i , on aura Féquation déterminante r* — /i' = o, d'où r=.±n.

ÉQUATIONS LINEAIRES. a35

Prenons d*abord r = /i, il viendra

— Ct

et, par suite,

> — Co I j:" — ' u -I i i— h . . .

Le terme général de la série entre parenthèses peut s'écrire ainsi

r(/i-h|x-Hi)r(|jLH-i)

Si donc nous prenons pour plus de simplicité la constante Co éffale à — y il viendra comme première so-

lution la série

(x4-i)r(ii + i)

que nous désignerons par J^.

En posant /* = — /z, on trouvera un résultat tout semblable, sauf le changement de signe de n.

Les deux intégrales J;,, J^^ seront évidemment indépendantes si n n'est pas un entier réil; Tintégrale générale sera donc

Si n est entier, on peut évidemment le supposer positif, car il ne figure que par son carré dans Téquation différentielle. Dans ce cas les n premiers termes de J„ s'annulent, car ils contiennent en dénominateur des fonctions F d'argument entier négatif, lesquelles sont infinies. Ou aura donc

OU, en posant [jl == /i + (x',

Les deux intégrales !„ et J;i ne seront donc pas indépendantes et ne suffiront pas pour former i^intégrale générale.

189. Pour obtenir dans ce cas une nouvelle intégrale, nous supposerons que Targument, au lieu d'être tout d'abord égala n, soit égal k n — e, e étant infiniment petit. Nous pourrons prendre pour intégrales indépendantes, au lieu de

J/i-e et J«+Ei J/i-e et ^^^^ ^^- La limite de cette

dernière quantité pour e == o nous donnera l'intégrale cherchée, que nous représenterons par Y;,.

Séparons les n premiers termes du développement de J-zz+e et changeons dans les autres Tindice de sommation (ji en /i H- [X ; il viendra

Y„ lira , .p(^^,)p(,j^g^^j jj

Itt

en posant, pour abréger,

/(^) r(/i-+-|x-4-i)r(EH-p-hi) Vaj

Or, en appliquant la formule connue

fiQUATIOI<CS LINÉAIRES. 23j

on aura

1 „, . sin(/i — 8 — îx)ic

expression dont la limite pour e r= o est

— T{n — \l) cos(/i — |jL)7r = (— i)» -l*+i r(/i — jjl). D'autre part,

liin^=z/'(o)=:2log-

2 r(/i-h[x-M)r([i-hi) r'(fx-i-i) r'(/i-h jAH-i)

r(«4-jjn-i)n({x-hi) r(ix-i-i)P(/2-h|x-hi)

Substituant ces valeurs, il vient

f Yr(n-(x)/^\-''^'l*

Zrdx + oVa/