Les fonctions 3n sont liées par Iti formule récurrente

(4?) — -J« = Jn-I + Jn+I-

En effet, substituant pour les fonctions J leurs développements en série et comparant le coefficient du terme en xn-\-2ti-i dans les deux membres, on aura à vérifier Tégalité

2«-^«»*r(pi -h i) r(/n- |JL -h I)

Or on a

r({jL-f-i) = |JLr[x, r(/i-H|jL + i) — (/i-H{A)r(/i-i- ji).

238 TIlOISifeHE PARTIE. — CHAPITRE II.

Substituant ces valeurs et supprimant les facteurs coin muns, l'égalité à vérifier se réduira à

ce qni est évident.

On vérifiera de même cette autre formule

dont la combinaison avec la précédente donnera

Nous signalerons enfin les deux formules

(5o) j^^X ^^n{\jx)—'-\x * JrtH-iCv/^),

(5i) ^«^''J-Cv^^) -=i-^"^J«-.(/^X

qu^il est également aisé de vérifier.

191. On peut rattacher à Téquation de Bessel plusieurs équations qui se rencontrent fréquemment dans les applications.

Transformons en effet cette équation en posant

^ et V désignant de nouvelles variables ; on aura

dx — ?yt^-^dt,

dx Py ^^^

tl - L t^-^ [ L t^-^^Z + '.izl ,-p ±.\ .

D'autre part,

Substituant les valeurs précédentes dey et de ses dérivées dans Téquation de Bessel, on aura l'équation transformée

(52) t^^ -^(2fli-H,)/^-t-(a«-p«/i«-+-P«Y'^'P)V = 0.

L'équation en^ ayant pour intégrale générale

j=:cJ«(a:)-hc'J-.;,(x),

la transformée aura, pour intégrale générale

(J./i devant toutefois être remplacé par Y,, si n est entier).

On pourra donc intégrer par les transcendantes J toute équation de la forme

car on peut disposer des quatre constantes a, ^^ y, n de manière à identifier Téquation (53) avec (62).

On remarquera toutefois que, ^ et y ne pouvant être nuls, la transformation serait en défaut si c ou )^ étaient nuls. Mais alors Téquation (53) se ramène à une équation à coefficients constants (139).

Les cas particuliers les plus intéressants sont les suivants :

a4o TB0I8IÈMB PABTIB. — CBAPITtl U<

correspondant à a. = ± n, ^ = ^ = 1, et

,rf«V , ,rfV ,-,

correspondant à a==-> P = ^, f=i\ enfin Tëquation de

Riccati

Ç,-^ct^y=o,

correspondant àa = — ~, p= — ,^ = 2/1 ^c, n = ^