Considérons, d'autre part, l'intégrale

ABA-«B-

A, B {Jig- 5) désignant des lacets reclilignes qui joignent les points critiques -j- i et o à un point quelconque a. Les

rij. 5.

valeurs de ^/^ *, (i — r)^~* dépendent des valeurs initiales adoptées au point a pour les arguments (p, (pi des quantités /et I — t. Nous adopterons celles de ces valeurs qui sont comprises entre — ir et + it. La signification de l'intégrale

ëlant ainsi précisée, nous aurons Ç tP-i (i __ ^)7-i é// = (1 — e*^^P) (i — c»^'^) ^^'^^ ^^^^

•'ABA-'B-

r(jE>-+-7)

il sulfira, comme tout à l'heure, d'établir la proposition pour le cas où p el q sont réels et positifs.

En désignant par A, B les valeurs de l'intégrale prise le long des lacets A, B, on aura

ABA-«B-

D'ailleurs les intégrales le long des petits cercles étant nulles, on aura

Donc

*^AfiA-«ll-« «^

Mais, en vertu de rh}^polhèse faite, f et i — t auront leur argument nul entre o et i; donc tP"* et (i — f)^~* seront

réels dans l'intégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur

îl^îH:^(t.n,n«M86.187).

209. Revenons à l'intégrale / e'^(u^ 4- i)"^ ' du. Soient {Jig' 6) A, B des lacets joignant l'origine aux points critiques i

et — i;

C une droite joignant l'origine au point , situé à l'infini dans la direction du point ;

A, B, C les valeurs de rintégrale prise le long de ces lignes, en choisissant celle des déterminations du radical

(w^+i) * qui se réduit à +i pour la valeur initiale 1/ = o, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu-

Fig. 6.

ments de la quantité u^-j- i (lesquels diffèrent les uns des autres de multiples de 27c) celui dont la valeur initiale est nulle.

On peut obtenir une première solution en prenant pour ligne d'intcgration ABAl~*B""*. L'intégrale correspondante étant

[,e"''("-î)][Â-B], on voit, en supprimant un facteur constant, que

Ii:nÂ — B

est une solution.

On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB"', à l'extrémité duquel la fonction V reprend sa valeur initiale 4- I ; car les deux facteurs exponentiels par lesquels

elle a été successivement multipliée sont inverses l'un de

Vautre.

ou, en développant les exponentielles en séries,

Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est pair =2 [A, ces éléments seront égaux et de signe contraire; on aura donc plus simplement

Posons u = it^^ il viendra A' désignant le lacet qui joint Torigine au point i, /

étant réel et positif ainsi que (i — /) lorsqu'on va de o à I.

Dans ces conditions, l'intégrale suivant A' sera égale à

D'ailleurs g'"*^" ^^ =, —. ^ii^in ^ En outre, si dans la formule

ni'>'=r(z)riz-i^- — \...rlz^— — l, ,„, ,

démontrée au t. I, n* 385, on pose m =:= 2, 5 = [x-h^, il viendra

Subslituant ces valeurs, il viendra finalement

210. Nous obtiendrons une seconde solution I2 en intégrant suivant une ligne L partant du point — — et y rêve-

nant après av< ir enveloppé dans le sens direct la partie

de Taxe des / comprise entre — i et +1 ifiS' ^)> ^^^

&'^{u'-\- 1/ ' s'annule au point —

Posons

d'oii

et, par suite,

k étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres de Téquation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne à / sa valeur initiale 4- 00 et à {/ la valeur correspondante

Nous adopterons pour arguments de ^ et de 1 4- -^j ceux

ÉQUATIONS LINÉAIRES. a63

doDt la valeur inilîale est nulle; pour argument de x celui

qui est compris entre — - et — > pour argument initial de

^^2|.i celui qu^on obtiendrait en faisant décrire à u la ligne C et prenant zéro pour Targument correspondant à l'origine.

Il est clair que, lorsque u décrit la ligne C, l'argument de l'un des facteurs u — «, i/ -i- t augmente, l'autre diminue. D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à -re : donc l'argument initial à adopter pour a'+ i sera compris enlre — ir et -f- ir.

On devra donc déterminer Xr, de telle sorte que l'argument

2 Arir — 2arîr.r

du second membre de l'équation (i3) soit compris entre — t: et H- 7w.

Si X est à droite de l'axe des jKj argj; sera compris entre

et -> et l'on devra poser X: ^^ o; si :c est à ganclie do

cet axe, argo; sera compris entre ^ et -y^-> et l'on devra poser A: :-- I .

Cela posé, faisons u -^ dans Tintégrale

elle deviendra

t ayant pour valeur initiale et finale -r oo, et son argiimenl variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégration. En supposant, ce qui est évidemment permis, que le module de i soit plus grand que celui de x tout le long de cette

ligne, on pourra développer le facteur ( i + -, ) pa»' la

formule du bînumc, et Ton aura ainsi

Zr(lx-Hi)r(n-HL-i-i)J^

si»-i)/.7C'\ ' ' ^^ -t- w f re^w*'*— i^rra/i — îfx'i

On a d^ailleurs, en changeant jjl en n — \k — \ dans la formule (i i),

^1^ r(|X"/i4-i)sin{/i -|x)ic =-^-J-^-(-')>'nTTr--

2 SllI/^~

r(iJL~/î -ht)

Enfin

2 sin/er

On aura, par suite,

I,---: ^{in-\)k'i:i /j ^ ^27T/« \ ^7r//i

zzi (i -\- c-'t'" ) g(5/i-i)*7r/+-(/i f-i)7ri

Xtr(/H-l)v/^(-^) J.,,(a-).

2H. Les deux solutions que nous venons d'obtenir sont donc, à des facteurs constants près, égales à x''"3fi{x) et .r~"J;,(j:), ce qui confirme un résultat déjà obtenu an nM91.

On peut trouver deux nouvelles solutions I3 etl4 en intégrant

le long des lacets D et E joignant respectivement les points

critiques i et — i au point {Jiff- 6); car e"^(a^ + 0 *

ÉQUATIONS LINÉAIRES. a65

s'annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de ces intégrales en adoptant encore pour argument de w'H- i au commencement de chacune de ces lignes celui qui est compris entre — it et -1- tc.

Il est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient ces nouvelles intégrales aux précédentes. En effet, l'argument de tt^-r I reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit le contour AB~', ce contour sera équivalent au contour C-^AB-*C = C-'AG.G-*B-'C qu'on peut aisément déformer en DE~*. L'intégrale relative à ce dernier contour est I3 — I4 ; on aura donc

D'autre part, le contour L peut évidemment être transformé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à

gauche de l'axe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche de cet axe, et l'on aura

(16) Iî=^l4-4- cC*»-»^'!*.

Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura

212. Proposons-nous de déterminer une valeur approchée de Is et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que /i a sa partie réelle

plus grande que -Le cas où elle serait <^ se ramène

immédiatement à celui-là, car, en posant I = .r~^"K, l'équation transformée en K ne diffère de la primitive que par le signe de n.

Dans l'hypothèse admise, les intégrales prises le long de cercles infiniment petits décrits autour de i et de — i sont nulles, et Ton aura évidemment

'266 TROISlàBIB PARTIE. — CHAPITRE II.

r, et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P et Q

qui joignent respectivement les points iel — i au point

Soit P' une droite menée à partir du point i et faisant

avec la droite P un an^rle X inférieur en valeur absolue à -•

L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon inOni tracr entre P et P' sera nulle; car e*^ tend vers zéro tout le long de cet arc plus rapidement qu'une puissance négative quelconque du rayon. On pourra donc remplacer l'intégrale suivant P par l'intégrale suivant P'.

Or on a sur cette dernière droite

t étant réel et variant de o à oo.

On en déduit

I W=-h lizz —

k' étant un entier à déterminer de telle sorte que les deux

membres de l'équation aient le même argument le long de P'.

Nous adopterons, comme précédemment, pour argument

de X celui qui est compris entre et -;-^j pour argument

e^^ t de t celui qui s'annule sur P', pour argument de i -f- —

celui qui s'annule pour / = o.

Considérons sur les deux lignes P et P' deux points /?, p' infiniment voisins du point i\ l'argument de u -h i aura sensiblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de l'argument de w — i au point p' surpassera de 'k sa valeur au point /?. Or au point/? l'argument de u^-hi est compris

ÉQUATIONS LIIlÉAinES. 267

entre — 'sr et -I- tz. Sa valeur au point /?' sera donc comprise entre — ir -•- A et ir H- X.

Mais Targument du second membre de la relation (18) au point jd' est égal à

— ^ -h X — arga? -h 2 A-'ic.

Pour qu'il soit compris entre — TC-j-Xetir-l-î^jilfaudraposer /{'^zo ou A'=:i, suivant que l'argument de x sera compris

entre et - ou entre - et — • On aura donc, en tout état

de cause, k':=:k, le nombre k étant celui qui figure dans

l'expression (i4) de l'intégrale L.

Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et

remarquant que e* =: i, il viendra

H désignant l'intégrale

Jo L 2^ j

Or on a

„i IA = «-1

Kn étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur. Donc

Zj r({i.-hi)r(/i-[i4-|)V2j:/ Jo

le reste U étant donné par l'intégrale

Mais

n'est autre chose que Tintégrale

n— +-1JL ,

prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à l'infini avec un azimut X. L'intégrale de cette même fonction étant évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, compris entre cette ligne et l'axe des ar, on pourra remplacer la ligne d'intégration par l'axe des x^ ce qui donnera, pour valeur de l'intégrale,

r(/n-fxH-i)-

Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la série

*" Y~'r(/i-f-i)r(/i-h[x-i-î) /jlV Zj r(ix-i-i)r(n-{xH--i) V2^y

et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du module de l'intégrale U, qui nous permette d'apprécier l'erreur commise.

213. Or e~^ ''e^' a pour module e""'*"*^; et, si nous supposons 71 =^ a -4- p«, la quantité

, ^. n lLng/-»-Xi)f a— -f-pij

aura pour module

Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de Rmj posons

/(/) et (f(t) étant des fonctions réelles. La série de Maclànrin, appliquée à ces deux, fonctions séparément, donnera

/(0=/(o) -../(o) +...4- ^^^^-;^Jj + ^-^

8 et 6' étant compris entre o et i; on aura donc, pour l'expression du reste y

Or on a

et, par suite,

|F'"(01>|/"'(0, IF'-COIjIt-'COI

Soil donc M la valeur maximum du module de F'"(<) entre o el 00; on aura

i/"'(oo:<M, i?"'(ô'oi<M,

d'où

H,„|r Mv^2.

D'ailleurs

et, si nous supposons

xz=z p(cos® -H isintp)=: pe'*?, on aura

Le module de cette expression

^sin(X — 0) r*

a pour valeur minimum

|cos(>--o)|

Cela posé, a pour module

Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que m soit >> a — ^, le maximum de cette expression correspondra au minimum de r et sera au plus égal à

On aura, par suite,

(ap)

-|cos(X — <p)| * e^\?\.

214. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du module de U une expression de la forme

K désignant une constante indépendante de x et de X. D'ailleurs, en posant ^cosX = z, on aura

r(a4-|+m) (cosX) *

«l enfin, par suite,

irîi = Kr^^^ t . , g-P^|cos(X-a))r « '" i |U|<Kl(a-i-i-r m) — --.

Le second membre contient l'indéterminée X, variable entre — - et — et dont nous pourrons profiler pour rendre

minimum le coefficient de — • Nous aurons ainsi

A^ étant une fonction de cp évidemment finie et continue. Soit A son maximum; on aura

La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de l'ordre de — -> tandis que les modules des termes de Tex-

pression approchée de I^ sont de Tordre de — > où jjl < /w ;

circonstance qui justifie notre formule d'approximation lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ailleurs.

215. Un procédé analogue permettra de trouver la valeur approchée de I'^. On substituera à la ligne d'intégration Q une antre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle X

inférieur à - en valeur absolue. On aura, le long: de cette ligne,

j? L àx ^

les arguments des deux membres étant ici égaux, comme étant tous deux compris entre — u -f- )» et ir H- X. On aura, par suite,

H| désignant Tintégrale

et enfin, en développant la puissance du binôme,

(Jl — w — 1

H- V r(/i-4-i)r(n-4-tx4-^) /-At^

LF| étant un reste dont le module a pour limite supérieure ^9 A| désiâ^nant une constante.

216. En nous bornant au premier terme des développements de Ig et de I4, nous aurons pour ces intégrales les valeurs asymptotiques suivantes :

On en déduit, pour la fonction

la valeur asymptotique

Si X est à droite de l'axe des y^ on aura Â: = o, et cette ^^ expression se réduira à

S'il est à gauche, on aura /r =r i , et l'expression de viendra

lî/i-f-i)

Au moyen des relations (i4)*et (17) qui lient J/i(:r) à I2 et cette dernière intégrale à I^ et I|, on trouvera de même la valeur approchée de J«(a:).

217. Les deux valeurs asymptotiques trouvées ci-dessus pour J/i(^) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier.

Soit, en effet, n == m H — • Elles se réduisent à

i / — cos Lr — ( m -+- 1 ) -

D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H et H| se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant celui 011 Y'^^ f^^] H et H< seront donc des polynômes entiers

en ~î de degré m et conjugués, dont le premier terme

est r(m).

5oit

J. — Cours, III. 18

Les autres formules donnent, pour n =:^ m-i — j

"V irj7 L • 2«T(/n) J

ou, en substituant les valeurs de H, H<,

^ l CCS Lr — (m 4-i)- ( I— ^ H- ^— .. . )/