M. Kummer a montré que Tintégrale générale de Téquation

__^- — xV-y = «0 -+- «i^ -+-••• -+- api-t^^""*

s'exprime par des intégrales définies multiples.

Soit, pour fixer les idées, jji = 3. Posons, pour abréger,

On a

lit* »i» -•-»»*»-♦-«''» .

h a* Ut^W X

ÉQUATIOÎÎS LINÉAIRES, 2^5-

<el, par suite,

àx

+ «-«'aJa"-» ( — r:: 4. a^^»,^

Intégrons celte équation par rapport à tt, v, cv, de o à oo, «t posons

il viendra

Mo, Mj , Ma désignant les intégrales

Mo rzz S «"-»(;»-» ^

-r-dudvdw^

Ml 1= S 1/"-= -^-dadvdw.

M, =r Shc -^-dudvdw, au

Ces intégrales sont des constantes indépendantes de x et de k\ car si, dans la première, par exemple, on intègre d'abord par rapport à wp, on aura

376 TROISifeMI PiLRTIE. — CBAPiTHE II.

d'où

De même pour M|, Mj.

Posons maintenant

Cette expression satisfera à Tëq nation si Ton établit entre les constantes C les trois relations

Il restera encore n — 3 constantes arbitraires. On aura donc ainsi l'intégrale générale.